Calcule a integral de superficie integral duplaS F cdot d S em que F(x, y, z)=(x^2 y,-3 x y^2, 4 y^3) e S é a parte do parabolóide z=x^2+y^2-9 que está abaixo do retângulo 0 <= x <= 2,0 <= y <= 1 e tem orientação descendente.
& -1 & 1 & -2 & 2 & 0

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral de superfície da função vetorial F(x, y, z) = (x^2 y, -3x y^2, 4y^3) sobre a superfície S, que é a parte do parabolóide z = x^2 + y^2 - 9 que está abaixo do retângulo definido por 0 <= x <= 2 e 0 <= y <= 1. Além disso, a orientação da superfície é descendente, ou seja, o vetor normal aponta para baixo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a integral de superfície e como parametrizar uma superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a superfície S. Dado que z = x^2 + y^2 - 9, podemos considerar x e y como parâmetros. Então, a parametrização fica:
r(x, y) = (x, y, x^2 + y^2 - 9)
Onde x varia de 0 a 2 e y varia de 0 a 1, conforme o retângulo dado.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor normal à superfície com orientação descendente. Para isso, calculamos os vetores tangentes parciais:
rx = (1, 0, 2x) ry = (0, 1, 2y)
O vetor normal é o produto vetorial desses vetores tangentes:
n = rx times ry = i & j & k 1 & 0 & 2x 0 & 1 & 2y = (-2x)i - (-2y)j + (1)k = (-2x, -2y, 1)
Como queremos a orientação descendente, o vetor normal deve apontar para baixo. Portanto, multiplicamos por -1:
ndesc = (2x, 2y, -1)

Passo 4

Agora, calculamos o produto escalar F cdot ndesc:
F cdot ndesc = (x^2 y, -3x y^2, 4y^3) cdot (2x, 2y, -1) = 2x cdot x^2 y + 2y cdot (-3x y^2) + (-1) cdot 4y^3
Simplificando:
= 2x^3 y - 6x y^3 - 4y^3

Passo 5

Agora, definimos a integral dupla sobre a região D que é o retângulo 0 <= x <= 2, 0 <= y <= 1:
integral duplaS F cdot dS = integral0^2 integral0^1 (2x^3 y - 6x y^3 - 4y^3) dy , dx
Vamos integrar em relação a y primeiro:
integral0^1 (2x^3 y - 6x y^3 - 4y^3) dy = 2x^3 cdot y^22 - 6x cdot y^44 - 4 cdot y^44 gr|0^1
= x^3 - 6x4 - y^4 gr|0^1 = x^3 - 3x2 - 1
Agora, integramos em relação a x:
integral0^2 (x^3 - 3x2 - 1) dx = x^44 - 3x^24 - x gr|0^2
= (164 - 124 - 2) - (0 - 0 - 0) = (4 - 3 - 2) = -1

Resposta

-1

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