Calcule a integral de superficie em que e é a parte do parabolóide que está abaixo do retângulo e tem orientação descendente.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral de superfície da função vetorial sobre a superfície , que é a parte do parabolóide que está abaixo do retângulo definido por e . Além disso, a orientação da superfície é descendente, ou seja, o vetor normal aponta para baixo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a integral de superfície e como parametrizar uma superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a superfície . Dado que , podemos considerar e como parâmetros. Então, a parametrização fica:
Onde varia de 0 a 2 e varia de 0 a 1, conforme o retângulo dado.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o vetor normal à superfície com orientação descendente. Para isso, calculamos os vetores tangentes parciais:
O vetor normal é o produto vetorial desses vetores tangentes:
Como queremos a orientação descendente, o vetor normal deve apontar para baixo. Portanto, multiplicamos por -1:
ndesc = (2x, 2y, -1)
Passo 4
Agora, calculamos o produto escalar F cdot ndesc:
F cdot ndesc = (x^2 y, -3x y^2, 4y^3) cdot (2x, 2y, -1) = 2x cdot x^2 y + 2y cdot (-3x y^2) + (-1) cdot 4y^3
Simplificando:
= 2x^3 y - 6x y^3 - 4y^3
Passo 5
Agora, definimos a integral dupla sobre a região D que é o retângulo 0 <= x <= 2, 0 <= y <= 1:
integral duplaS F cdot dS = integral0^2 integral0^1 (2x^3 y - 6x y^3 - 4y^3) dy , dx