Determine a área da superficie parametrizada por , com .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a área de uma superfície parametrizada pela função , onde e . Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente o cálculo da área de superfícies paramétricas. Para resolver, vamos precisar usar derivadas parciais, produto vetorial e integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parametrização da superfície. A função descreve um cilindro circular de raio 4, com a coordenada representando a altura ao longo do eixo z, e variando ao redor do círculo.
Passo 3
Para encontrar a área da superfície parametrizada, usamos a fórmula da área para superfícies paramétricas:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente, e o símbolo representa o produto vetorial.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 5
Agora, calculamos o produto vetorial :
Passo 6
Em seguida, calculamos a norma desse vetor:
Passo 7
Agora, podemos montar a integral dupla para a área: