Determine a área da superficie parametrizada por r(u, v) = (4 cos(v), 4 sen(v), u), com 0 <= u <= 5 e 0 <= v <= 2 pi.
40 pi
80 pi
160 pi
10 pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a área de uma superfície parametrizada pela função , onde e . Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente o cálculo da área de superfícies paramétricas. Para resolver, vamos precisar usar derivadas parciais, produto vetorial e integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parametrização da superfície. A função descreve um cilindro circular de raio 4, com a coordenada u representando a altura ao longo do eixo z, e v variando ao redor do círculo.

Passo 3

Para encontrar a área da superfície parametrizada, usamos a fórmula da área para superfícies paramétricas:
Á
Aqui, e são as derivadas parciais de r em relação a u e v, respectivamente, e o símbolo x vezes y representa o produto vetorial.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais:

Passo 5

Agora, calculamos o produto vetorial :

Passo 6

Em seguida, calculamos a norma desse vetor:

Passo 7

Agora, podemos montar a integral dupla para a área:
Á

Passo 8

Vamos resolver a integral interna em u:

Passo 9

Agora, resolvemos a integral externa em v:

Resposta

A área da superfície parametrizada é .

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