Utilize o teorema de Stokes para calcular integralC F cdot d r, em que F(x, y, z)=(z^2, y^2, x y) e C é o triângulo de vértices (1,0,0),(0,1,0) e(0,0,2) orientado no sentido anti-horário quando visto de cima.
43
-43
13
-13
83

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Stokes. A pergunta nos pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial ao longo de um triângulo com vértices nos pontos , e . Para isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Stokes e como aplicá-lo a esse cenário.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Stokes, que conecta uma integral de linha ao longo de uma curva fechada ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS com uma integral de superfície sobre uma superfície que tem como contorno. Matematicamente, ele é expresso assim:
Aqui, é o rotacional do campo vetorial , e é o vetor normal à superfície .

Passo 3

Vamos começar calculando o rotacional de F(x, y, z) = (z^2, y^2, x y) :
nabla times F = ( partialpartial y(xy) - partialpartial z(y^2), partialpartial z(z^2) - partialpartial x(xy), partialpartial x(y^2) - partialpartial y(z^2) )
O rotacional Componente x: & partialpartial y(xy) - partialpartial z(y^2) = x - 0 = x Componente y: & partialpartial z(z^2) - partialpartial x(xy) = 2z - y Componente z: & partialpartial x(y^2) - partialpartial y(z^2) = 0 - 0 = 0 é dado por:
nabla times F = (x, 2z - y, 0)
Calculando cada componente:
Então,

Passo 4

Agora, precisamos escolher uma superfície Ax + By + Cz + D = 0 cuja borda seja o triângulo A(1) + B(0) + C(0) + D = 0 Rightarrow A + D = 0 (1) . Vamos escolher a própria superfície triangular definida pelos vértices A(0) + B(1) + C(0) + D = 0 Rightarrow B + D = 0 (2) , A(0) + B(0) + C(2) + D = 0 Rightarrow 2C + D = 0 (3) e D = -2, B = 2, C = 1 .
Para facilitar os cálculos, vamos parametrizar a superfície 2x + 2y + z - 2 = 0 Rightarrow z = 2 - 2x - 2y em termos de e . Observando os pontos, percebemos que a equação da superfície pode ser expressa relacionando com e .
Vamos encontrar a equação do plano que passa por esses três pontos. Usamos a forma geral do plano:
Substituindo os pontos:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
Resolvendo essas equações:
  • De (1):
  • De (2):
  • De (3):
Podemos escolher para simplificar:
Então, a equação do plano é:

Passo 5

Agora, vamos parametrizar a superfície r(x, y) = (x, y, 2 - 2x - 2y) em termos de e :
Os limites para e são determinados pelos vértices do triângulo:
  • varia de 0 a 1
  • Para cada , varia de 0 a

Passo 6

Vamos calcular o vetor normal rx = (1, 0, -2), ry = (0, 1, -2) à superfície. Para isso, calculamos as derivadas parciais de n = rx times ry = i & j & k 1 & 0 & -2 0 & 1 & -2 = ( (0)(-2) - (-2)(1) )i - ( (1)(-2) - (-2)(0) )j + ( (1)(1) - (0)(0) )k ) em relação a n = (2)i - (-2)j + (1)k = (2, 2, 1) e :
O vetor normal é o produto vetorial dessas derivadas:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral de superfície:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Substituindo (nabla times F) cdot n = x cdot 2 + (2z - y) cdot 2 + 0 cdot 1 = 2x + 4z - 2y e 2x + 4(2 - 2x - 2y) - 2y = 2x + 8 - 8x - 8y - 2y = -6x - 10y + 8 :
Substituindo :

Passo 8

Agora, configuramos a integral dupla:
integral duplaS (-6x - 10y + 8) , dA
Onde integral0^1 integral0^1 - x (-6x - 10y + 8) , dy , dx , com integral0^1 - x (-6x - 10y + 8) , dy = [-6x y - 5y^2 + 8y]0^1 - x indo de 0 a 1 e -6x(1 - x) - 5(1 - x)^2 + 8(1 - x) = -6x + 6x^2 - 5(1 - 2x + x^2) + 8 - 8x indo de 0 a = -6x + 6x^2 -5 + 10x -5x^2 +8 -8x :
= (6x^2 -5x^2) + (-6x +10x -8x) + (-5 +8)
Vamos integrar primeiro em relação a = x^2 -4x +3 :
integral0^1 (x^2 -4x +3) , dx = [ x^33 - 2x^2 + 3x ]0^1
Substituindo os limites:
= ( 13 - 2 + 3 ) - 0 = 13 +1 = 43
Agora, integrando em relação a :

Resposta

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& -1 & 1 & -2 & 2 & 0
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& 3 raiz14 & raiz14 & 6 raiz14 & 9 raiz14 & 12 raiz14
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125 pi
45 pi
25 pi
65 pi
35 pi
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0
pi
125 pi
10003 pi
1000 pi