Utilize o teorema de Stokes para calcular , em que e é o triângulo de vértices orientado no sentido anti-horário quando visto de cima.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Stokes. A pergunta nos pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial ao longo de um triângulo com vértices nos pontos , e . Para isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Stokes e como aplicá-lo a esse cenário.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Stokes, que conecta uma integral de linha ao longo de uma curva fechada com uma integral de superfície sobre uma superfície que tem como contorno. Matematicamente, ele é expresso assim:
Aqui, é o rotacional do campo vetorial , e é o vetor normal à superfície .
Passo 3
Vamos começar calculando o rotacional de :
O rotacional é dado por:
Calculando cada componente:
Então,
Passo 4
Agora, precisamos escolher uma superfície cuja borda seja o triângulo . Vamos escolher a própria superfície triangular definida pelos vértices , e .
Para facilitar os cálculos, vamos parametrizar a superfície em termos de e . Observando os pontos, percebemos que a equação da superfície pode ser expressa relacionando com e .
Vamos encontrar a equação do plano que passa por esses três pontos. Usamos a forma geral do plano:
Substituindo os pontos:
Para :
Para :
Para :
Resolvendo essas equações:
De (1):
De (2):
De (3):
Podemos escolher para simplificar:
Então, a equação do plano é:
Passo 5
Agora, vamos parametrizar a superfície em termos de e :
Os limites para e são determinados pelos vértices do triângulo:
varia de 0 a 1
Para cada , varia de 0 a
Passo 6
Vamos calcular o vetor normal à superfície. Para isso, calculamos as derivadas parciais de em relação a e :
O vetor normal é o produto vetorial dessas derivadas: