Determine a integral de superficie integral duplaS y d S, em que S é a superfície definida pelo parte do plano 3 x+2 y+z=6 que está no primeiro octante
& 3 raiz14 & raiz14 & 6 raiz14 & 9 raiz14 & 12 raiz14

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de superfície integral duplaS y , dS, onde S é a parte do plano 3x + 2y + z = 6 que está no primeiro octante. Isso envolve cálculo de integrais múltiplas e geometria analítica. Vamos precisar entender como parametrizar a superfície e calcular a área diferencial dS.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o primeiro octante. No sistema de coordenadas cartesianas, o primeiro octante é onde as três coordenadas (x, y, z) são todas positivas. Então, vamos encontrar os limites de x, y e z que satisfazem 3x + 2y + z = 6 com x, y, z >= 0.

Passo 3

Vamos resolver a equação do plano para z em termos de x e y:
z = 6 - 3x - 2y
Como z >= 0, temos:
6 - 3x - 2y >= 0 Rightarrow 3x + 2y <= 6
Isso define a região no plano xy sobre a qual vamos integrar.

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração para x e y. Para x fixo, y varia de 0 a (6 - 3x)/2. E x varia de 0 a 2, porque quando x=2, y=0:
3(2) + 2(0) = 6

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a área diferencial dS. A área diferencial em termos de dx e dy para uma superfície z = f(x, y) é dada por:
dS = raiz1 + (partial zpartial x)^2 + (partial zpartial y)^2 , dx , dy
Vamos calcular as derivadas parciais:
partial zpartial x = -3 partial zpartial y = -2
Então:
dS = raiz1 + (-3)^2 + (-2)^2 , dx , dy = raiz1 + 9 + 4 , dx , dy = raiz14 , dx , dy

Passo 6

Agora, nossa integral de superfície fica:
integral duplaS y , dS = raiz14 integral duplaD y , dx , dy
Onde D é a região no plano xy definida por 0 <= x <= 2 e 0 <= y <= 6 - 3x2.

Passo 7

Vamos calcular a integral dupla:
integral duplaD y , dx , dy = integral0^2 ( integral0^6 - 3x2 y , dy ) dx
Primeiro, integramos em relação a y:
integral0^6 - 3x2 y , dy = [ y^22 ]0^6 - 3x2 = (6 - 3x)^28

Passo 8

Agora, substituímos na integral em x:
integral0^2 (6 - 3x)^28 , dx = 18 integral0^2 (6 - 3x)^2 , dx
Vamos expandir (6 - 3x)^2:
(6 - 3x)^2 = 36 - 36x + 9x^2
Então:
18 integral0^2 (36 - 36x + 9x^2) , dx = 18 [ 36x - 18x^2 + 3x^3 ]0^2
Calculando nos limites:
18 ( 36(2) - 18(4) + 3(8) ) = 18 (72 - 72 + 24) = 248 = 3

Passo 9

Finalmente, multiplicamos pelo raiz14 que veio do dS:
integral duplaS y , dS = raiz14 times 3 = 3 raiz14

Resposta

3 raiz14

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