Determine a integral de superficie
, em que
é a superfície definida pelo parte do plano
que está no primeiro octante
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de superfície
, onde
é a parte do plano
que está no primeiro octante. Isso envolve cálculo de integrais múltiplas e geometria analítica. Vamos precisar entender como parametrizar a superfície e calcular a área diferencial
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o primeiro octante. No sistema de coordenadas cartesianas, o primeiro octante é onde as três coordenadas
são todas positivas. Então, vamos encontrar os limites de
,
e
que satisfazem
com
.
Passo 3
Vamos resolver a equação do plano para
em termos de
e
:
Como
, temos:
Isso define a região no plano
sobre a qual vamos integrar.
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração para
e
. Para
fixo,
varia de
a
. E
varia de
a
, porque quando
,
:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a área diferencial
. A área diferencial em termos de
e
para uma superfície
é dada por:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Então:
Passo 6
Agora, nossa integral de superfície fica:
Onde
é a região no plano
definida por
e
.
Passo 7
Vamos calcular a integral dupla:
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 8
Agora, substituímos na integral em
:
Vamos expandir
:
Então:
Calculando nos limites:
Passo 9
Finalmente, multiplicamos pelo
que veio do
: