Utilize o teorema do divergente para calcular a integral de superficie integral duplaS F cdot d S em que F(x, y, z)=(x^3, y^3, z^3) e S é a superficie da esfera de raio 1 centrada na origem.
125 pi
45 pi
25 pi
65 pi
35 pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de superfície usando o Teorema do Divergente. O que a gente tem aqui é a integral de superfície , onde e é a superfície de uma esfera de raio 1, centrada na origem. O Teorema do Divergente nos ajuda a transformar essa integral de superfície em uma integral de volume, facilitando a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema do Divergente. Ele diz que:
integral duplaS F cdot dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
Ou seja, a integral de superfície do campo sobre é igual à integral de volume do divergente de sobre o volume limitado por .

Passo 3

Agora, vamos calcular o divergente de nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z . O divergente de um campo vetorial nabla cdot F = partialpartial x(x^3) + partialpartial y(y^3) + partialpartial z(z^3) = 3x^2 + 3y^2 + 3z^2 é dado por:
No nosso caso, , então:

Passo 4

Simplificando o divergente:
nabla cdot F = 3(x^2 + y^2 + z^2)
Sabemos que na esfera de raio 1, nabla cdot F = 3 times 1 = 3 . Portanto:

Passo 5

Agora, aplicando o Teorema do Divergente:
integral duplaS F cdot dS = integral triplaV nabla cdot F , dV = integral triplaV 3 , dV = 3 times Volume da esfera
Sabemos que o volume V = 43 pi r^3 de uma esfera de raio V = 43 pi é:
No nosso caso, , então:

Passo 6

Substituindo na expressão:
integral duplaS F cdot dS = 3 times 43 pi = 4pi

Resposta

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