Utilize o teorema do divergente para calcular a integral de superficie
em que
e S é a superficie da esfera de raio 1 centrada na origem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de superfície usando o Teorema do Divergente. O que a gente tem aqui é a integral de superfície
, onde
e
é a superfície de uma esfera de raio 1, centrada na origem. O Teorema do Divergente nos ajuda a transformar essa integral de superfície em uma integral de volume, facilitando a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema do Divergente. Ele diz que:
Ou seja, a integral de superfície do campo
sobre
é igual à integral de volume do divergente de
sobre o volume
limitado por
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o divergente de
. O divergente de um campo vetorial
é dado por:
No nosso caso,
, então:
Passo 4
Simplificando o divergente:
Sabemos que na esfera de raio 1,
. Portanto:
Passo 5
Agora, aplicando o Teorema do Divergente:
Sabemos que o volume
de uma esfera de raio
é:
No nosso caso,
, então:
Passo 6
Substituindo na expressão: