Calcule a integral de superficie , em que é a superficie , com .
Passo 1
Vamos entender o que foi pedido: precisamos calcular a integral de superfície , onde é a superfície definida por com e . O conteúdo envolvido aqui é cálculo multivariável, especificamente integrais de superfície. Para resolver, vamos precisar parametrizar a superfície e encontrar o elemento de área .
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a superfície . Podemos usar e como parâmetros, então qualquer ponto na superfície pode ser representado como .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os vetores tangentes à superfície em direção a e . Calculamos as derivadas parciais:
Passo 4
Em seguida, calculamos o produto vetorial desses vetores tangentes para encontrar o vetor normal à superfície:
Passo 5
O elemento de área dS = | (2x, -1, 4) | , dx , dz = raiz(2x)^2 + (-1)^2 + 4^2 , dx , dz = raiz4x^2 + 1 + 16 , dx , dz = raiz4x^2 + 17 , dx , dz é o módulo desse vetor normal:
Passo 6
A integral de superfície se torna:
integral duplaS x , dS = integral0^2 integral0^2 x cdot raiz4x^2 + 17 , dz , dx
Como a função integranda não depende de integral0^2 dz = 2 , podemos integrar em relação a 2 integral0^2 x cdot raiz4x^2 + 17 , dx primeiro:
Então, a integral simplifica para:
Passo 7
Agora, vamos resolver a integral:
integral x cdot raiz4x^2 + 17 , dx
Fazemos a substituição 18 integral raizu , du = 18 cdot 23 u^3/2 + C = 112 u^3/2 + C = 112 (4x^2 + 17)^3/2 + C , então ou .
Substituindo:
Passo 8
Aplicando os limites de integração de 2 [ 112 (4x^2 + 17)^3/2 ]0^2 = 16 [ (4 cdot 4 + 17)^3/2 - (0 + 17)^3/2 ] = 16 (33^3/2 - 17^3/2) a 16 (33 raiz33 - 17 raiz17) :