Calcule a integral de superficie integral duplaS x d S, em que S é a superficie y=x^2+4 z, com 0 <= x <= 2 e 0 <= z <= 2.
16(33 raiz33-17 raiz17)
33 raiz33-17 raiz17
13(33 raiz33-17 raiz17)
12(33 raiz33-17 raiz17)
112(33 raiz33-17 raiz17)

Passo 1

Vamos entender o que foi pedido: precisamos calcular a integral de superfície , onde é a superfície definida por com e . O conteúdo envolvido aqui é cálculo multivariável, especificamente integrais de superfície. Para resolver, vamos precisar parametrizar a superfície e encontrar o elemento de área .

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a superfície . Podemos usar e como parâmetros, então qualquer ponto na superfície pode ser representado como .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os vetores tangentes à superfície em direção a partial Spartial x = (1, 2x, 0) e partial Spartial z = (0, 4, 1) . Calculamos as derivadas parciais:

Passo 4

Em seguida, calculamos o produto vetorial desses vetores tangentes para encontrar o vetor normal à superfície:
partial Spartial x times partial Spartial z = i & j & k 1 & 2x & 0 0 & 4 & 1 = i(2x cdot 1 - 0 cdot 4) - j(1 cdot 1 - 0 cdot 0) + k(1 cdot 4 - 2x cdot 0) = (2x, -1, 4)

Passo 5

O elemento de área dS = | (2x, -1, 4) | , dx , dz = raiz(2x)^2 + (-1)^2 + 4^2 , dx , dz = raiz4x^2 + 1 + 16 , dx , dz = raiz4x^2 + 17 , dx , dz é o módulo desse vetor normal:

Passo 6

A integral de superfície se torna:
integral duplaS x , dS = integral0^2 integral0^2 x cdot raiz4x^2 + 17 , dz , dx
Como a função integranda não depende de integral0^2 dz = 2 , podemos integrar em relação a 2 integral0^2 x cdot raiz4x^2 + 17 , dx primeiro:
Então, a integral simplifica para:

Passo 7

Agora, vamos resolver a integral:
integral x cdot raiz4x^2 + 17 , dx
Fazemos a substituição 18 integral raizu , du = 18 cdot 23 u^3/2 + C = 112 u^3/2 + C = 112 (4x^2 + 17)^3/2 + C , então ou .
Substituindo:

Passo 8

Aplicando os limites de integração de 2 [ 112 (4x^2 + 17)^3/2 ]0^2 = 16 [ (4 cdot 4 + 17)^3/2 - (0 + 17)^3/2 ] = 16 (33^3/2 - 17^3/2) a 16 (33 raiz33 - 17 raiz17) :
Simplificando:

Resposta

Exercícios relacionados

Calcule a integral de superfície integral duplaS y z d S em que S é a superfície parametrizada por r(u, v)=(u v, u+v, u-v), com domínio definido pelo disco de raio 1 centrado na origem do plano u v.
0
1
2 pi
4 pi
Determine a área da superficie parametrizada por r(u, v) = (u cos v, u sen v, 3 u), com 0 <= u <= 4 e 0 <= v <= 2 pi.
16 pi raiz(10), 4 pi raiz(10), 16 pi, 4 pi, pi raiz(10)
Determine a integral de superfície integral duplaS x z d S, em que S é a superfície definida pelo parte do plano x+y+z=1 que está no primeiro
octante.
raiz324
raiz312
raiz348
raiz36
raiz33
Calcule a integral de superficie integral duplaS F cdot d S em que F(x, y, z)=(e^y, y e^x, x^2 y) e S é a parte do parabolóide z=x^2+y^2 que está acima do quadrado 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1 e tem orientação ascendente.
& 16(11-10 e) & (11-10 e) & 12(11-10 e) & 13(5 e) & 12(5 e)