Determine o vetor tangente unitário no ponto com valor de parâmetro dado .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o vetor tangente unitário no ponto onde . Estamos trabalhando com vetores posição em cálculo vetorial. Para isso, vamos precisar calcular a derivada do vetor posição em relação a e depois normalizar esse vetor derivado para obter o vetor unitário.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada do vetor posição em relação a . A derivada de é:

Passo 3

Vamos derivar cada componente:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
Assim, a derivada fica:

Passo 4

Agora, vamos avaliar no ponto :

Passo 5

Em seguida, precisamos normalizar esse vetor para obter o vetor tangente unitário . Para isso, calculamos o comprimento (magnitude) de :

Passo 6

Finalmente, dividimos cada componente de pelo seu comprimento para obter :

Resposta

O vetor tangente unitário no ponto é .

Exercícios relacionados

Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado. Ilustre traçando o gráfico da curva e da reta tangente em uma mesma tela.
Calcule a integral de superfície
em que é a esfera unitária .
Observação:
Lembre-se que a esfera de raio a é descrita por
e
Determine o vetor tangente unitário no ponto com valor de parâmetro dado .
Resolva as derivas abaixo: