Determine o vetor tangente unitário T(t) no ponto com valor de parâmetro dado t. r(t) = < t * e^(-t), 2 * arctg(t), 2 * e^t >, t = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o vetor tangente unitário T(t) no ponto onde . Estamos trabalhando com vetores posição em cálculo vetorial. Para isso, vamos precisar calcular a derivada do vetor posição r(t) em relação a t e depois normalizar esse vetor derivado para obter o vetor unitário.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada do vetor posição r(t) em relação a t. A derivada de é:

Passo 3

Vamos derivar cada componente:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
Assim, a derivada fica:

Passo 4

Agora, vamos avaliar no ponto :

Passo 5

Em seguida, precisamos normalizar esse vetor para obter o vetor tangente unitário T(t). Para isso, calculamos o comprimento (magnitude) de :

Passo 6

Finalmente, dividimos cada componente de pelo seu comprimento para obter :

Resposta

O vetor tangente unitário no ponto é .

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