Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado. Ilustre traçando o gráfico da curva e da reta tangente em uma mesma tela.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar as equações paramétricas da reta tangente à curva definida pelas equações paramétricas , e no ponto . Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções paramétricas para determinar a reta tangente.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar o valor de que corresponde ao ponto dado . Pela equação , temos que .
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de , e em relação a para encontrar o vetor derivativo (ou vetor tangent) no ponto :
Substituindo :
Portanto, o vetor derivativo no ponto é .
Passo 4
Com o vetor derivativo conhecido, podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente utilizando o ponto de tangência e o vetor direção . As equações paramétricas da reta tangente são dadas por: