Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado. Ilustre traçando o gráfico da curva e da reta tangente em uma mesma tela. x=t, y=e^(-t), z=2t-t^2 ; (0,1,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar as equações paramétricas da reta tangente à curva definida pelas equações paramétricas , e no ponto . Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções paramétricas para determinar a reta tangente.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar o valor de que corresponde ao ponto dado . Pela equação , temos que .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de , e em relação a para encontrar o vetor derivativo (ou vetor tangent) no ponto :
Substituindo :
Portanto, o vetor derivativo no ponto é .

Passo 4

Com o vetor derivativo conhecido, podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente utilizando o ponto de tangência e o vetor direção . As equações paramétricas da reta tangente são dadas por:
Onde é o parâmetro da reta.

Resposta

As equações paramétricas da reta tangente são:

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