Calcule a integral de superfície para o campo vetorial , em que é parte do paraboloide , com .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! O enunciado pede para calcular a integral de superfície , onde o campo vetorial é e é uma parte do paraboloide com . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de superfícies e cálculo de integrais de superfície.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a superfície . O paraboloide dado é simétrico e pode ser facilmente parametrizado usando coordenadas polares. Vamos definir:
Onde é o raio e o ângulo polar, com (pois implica ) e .

Passo 3

Com a parametrização definida, vamos expressar o vetor posição :
Agora, para calcular a integral de superfície, precisamos encontrar o vetor normal à superfície. Para isso, calculamos os vetores tangentes e :

Passo 4

O vetor normal à superfície é dado pelo produto vetorial desses vetores tangentes:
Vamos calcular esse produto:
Calculando o determinante:
Simplificando:

Passo 5

Agora, precisamos calcular o produto escalar . Substituindo e :
Simplificando:

Passo 6

Agora, a integral de superfície fica:
Entretanto, neste caso, já incorporamos o termo de no cálculo do vetor normal. Portanto, a integral simplifica para:

Passo 7

Vamos calcular a integral interna em :

Passo 8

Agora, calculamos a integral externa em :

Resposta

A integral de superfície é igual a .

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é positiva definida se, e somente se,
e é negativa definida se, e somente se,
respectivamente, em que e são as taxas de crescimento das duas populações, e e são seus níveis de saturação. No entanto, quando ambas as espécies estão presentes, cada uma vai afetar o suprimento de comida disponível para a outra. De fato, elas reduzem as taxas de crescimento e os níveis de saturação uma da outra. A expressão mais simples para reduzir a taxa de crescimento da espécie devido à presença da espécie é substituir o fator de crescimento na Eq. (1a) por , em que é uma medida do grau de interferência da espécie sobre a espécie . Analogamente, substituímos na Eq. (1b) por . Obtemos, assim, o sistema de equações
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a) ;