Calcule a integral de superfície integral duplaS F cdot d S para o campo vetorial F(x, y, z)=y i+x j+z k, em que S é parte do paraboloide z=1-x^2-y^2, com z >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! O enunciado pede para calcular a integral de superfície , onde o campo vetorial é e é uma parte do paraboloide com . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de superfícies e cálculo de integrais de superfície.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a superfície x = r costheta . O paraboloide dado é simétrico e pode ser facilmente parametrizado usando coordenadas polares. Vamos definir:
y = r sintheta
z = 1 - r^2
Onde é o raio e o ângulo polar, com (pois implica ) e .

Passo 3

Com a parametrização definida, vamos expressar o vetor posição r(r, theta) = r costheta,i + r sintheta,j + (1 - r^2),k :
rr = partial rpartial r = costheta,i + sintheta,j - 2r,k
Agora, para calcular a integral de superfície, precisamos encontrar o vetor normal à superfície. Para isso, calculamos os vetores tangentes rtheta = partial rpartial theta = -r sintheta,i + r costheta,j e :

Passo 4

O vetor normal n = rr times rtheta à superfície é dado pelo produto vetorial desses vetores tangentes:
n = i & j & k costheta & sintheta & -2r - r sintheta & r costheta & 0
Vamos calcular esse produto:
n = [ ( sintheta cdot 0 ) - ( -2r cdot r costheta ) ],i - [ ( costheta cdot 0 ) - ( -2r cdot (- r sintheta ) ) ],j + [ ( costheta cdot r costheta ) - ( sintheta cdot (- r sintheta ) ) ],k
Calculando o determinante:
n = (2r^2 costheta),i - (2r^2 sintheta),j + (r cos^2theta + r sin^2theta ),k
Simplificando:
n = 2r^2 costheta,i - 2r^2 sintheta,j + r (cos^2theta + sin^2theta ),k
n = 2r^2 costheta,i - 2r^2 sintheta,j + r,k

Passo 5

Agora, precisamos calcular o produto escalar F(x, y, z) = y,i + x,j + z,k = r sintheta,i + r costheta,j + (1 - r^2),k . Substituindo F cdot n = (r sintheta)(2r^2 costheta) + (r costheta)(-2r^2 sintheta) + (1 - r^2)(r) e F cdot n = 2r^3 sintheta costheta - 2r^3 sintheta costheta + r (1 - r^2) :
F cdot n = 0 + r - r^3 = r - r^3
Simplificando:

Passo 6

Agora, a integral de superfície fica:
integral duplaS F cdot dS = integral0^2pi integral0^1 (r - r^3) cdot |n| , dr , dtheta
Entretanto, neste caso, já incorporamos o termo de integral duplaS F cdot dS = integral0^2pi integral0^1 (r - r^3) , dr , dtheta no cálculo do vetor normal. Portanto, a integral simplifica para:

Passo 7

Vamos calcular a integral interna em integral0^1 (r - r^3) , dr = [ r^22 - r^44 ]0^1 = ( 12 - 14 ) - (0 - 0) = 14 :

Passo 8

Agora, calculamos a integral externa em integral0^2pi 14 , dtheta = 14 cdot (2pi - 0) = pi2 :

Resposta

A integral de superfície é igual a .

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