Calcule a integral de superfície para o campo vetorial , em que é parte do paraboloide , com .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! O enunciado pede para calcular a integral de superfície , onde o campo vetorial é e é uma parte do paraboloide com . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de superfícies e cálculo de integrais de superfície.
Passo 2
Primeiro, precisamos parametrizar a superfície . O paraboloide dado é simétrico e pode ser facilmente parametrizado usando coordenadas polares. Vamos definir:
Onde é o raio e o ângulo polar, com (pois implica ) e .
Passo 3
Com a parametrização definida, vamos expressar o vetor posição :
Agora, para calcular a integral de superfície, precisamos encontrar o vetor normal à superfície. Para isso, calculamos os vetores tangentes e :
Passo 4
O vetor normal à superfície é dado pelo produto vetorial desses vetores tangentes:
Vamos calcular esse produto:
Calculando o determinante:
n = (2r^2 costheta),i - (2r^2 sintheta),j + (r cos^2theta + r sin^2theta ),k
Simplificando:
n = 2r^2 costheta,i - 2r^2 sintheta,j + r (cos^2theta + sin^2theta ),k
n = 2r^2 costheta,i - 2r^2 sintheta,j + r,k
Passo 5
Agora, precisamos calcular o produto escalar F(x, y, z) = y,i + x,j + z,k = r sintheta,i + r costheta,j + (1 - r^2),k . Substituindo F cdot n = (r sintheta)(2r^2 costheta) + (r costheta)(-2r^2 sintheta) + (1 - r^2)(r) e F cdot n = 2r^3 sintheta costheta - 2r^3 sintheta costheta + r (1 - r^2) :
F cdot n = 0 + r - r^3 = r - r^3
Simplificando:
Passo 6
Agora, a integral de superfície fica:
integral duplaS F cdot dS = integral0^2pi integral0^1 (r - r^3) cdot |n| , dr , dtheta
Entretanto, neste caso, já incorporamos o termo de integral duplaS F cdot dS = integral0^2pi integral0^1 (r - r^3) , dr , dtheta no cálculo do vetor normal. Portanto, a integral simplifica para:
Passo 7
Vamos calcular a integral interna em integral0^1 (r - r^3) , dr = [ r^22 - r^44 ]0^1 = ( 12 - 14 ) - (0 - 0) = 14 :
Passo 8
Agora, calculamos a integral externa em integral0^2pi 14 , dtheta = 14 cdot (2pi - 0) = pi2 :