Calcule a integral de superfície para o campo vetorial , em que é parte do paraboloide , com .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! O enunciado pede para calcular a integral de superfície , onde o campo vetorial é e é uma parte do paraboloide com . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de superfícies e cálculo de integrais de superfície.
Passo 2
Primeiro, precisamos parametrizar a superfície . O paraboloide dado é simétrico e pode ser facilmente parametrizado usando coordenadas polares. Vamos definir:
Onde é o raio e o ângulo polar, com (pois implica ) e .
Passo 3
Com a parametrização definida, vamos expressar o vetor posição :
Agora, para calcular a integral de superfície, precisamos encontrar o vetor normal à superfície. Para isso, calculamos os vetores tangentes e :
Passo 4
O vetor normal à superfície é dado pelo produto vetorial desses vetores tangentes:
Vamos calcular esse produto:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Passo 5
Agora, precisamos calcular o produto escalar . Substituindo e :
Simplificando:
Passo 6
Agora, a integral de superfície fica:
Entretanto, neste caso, já incorporamos o termo de no cálculo do vetor normal. Portanto, a integral simplifica para: