A função
é positiva definida se, e somente se,
e é negativa definida se, e somente se,

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função quadrática de duas variáveis:
E precisamos descobrir quando essa função é positiva definida ou negativa definida. Isso faz parte do conteúdo de formas quadráticas na matemática. Para resolver isso, vamos usar critérios que envolvem os coeficientes , e da função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser positiva definida ou negativa definida.
  • Positiva definida: A função é sempre maior que zero, ou seja, para todos os diferentes de zero.
  • Negativa definida: A função é sempre menor que zero, ou seja, para todos os diferentes de zero.

Passo 3

Para determinar a definitude da forma quadrática, usamos o determinante da matriz associada à função. A matriz para nossa função é:
O determinante dessa matriz é calculado por:
Multiplicando ambos os lados por 4 para simplificar, temos:
Esse valor da desigualdade nos ajuda a determinar a definitude da função.

Passo 4

Agora, vamos aplicar esses conceitos para encontrar as condições para ser positiva ou negativa definida.
  • Positiva definida:
    • Primeiro, o coeficiente deve ser positivo ( ).
    • Segundo, o determinante deve ser positivo ( ).
    Isso garante que a função não tem valores negativos e está “curvada para cima”.
  • Negativa definida:
    • Primeiro, o coeficiente deve ser negativo ( ).
    • Segundo, o determinante deve ser positivo ( ).
    Isso garante que a função não tem valores positivos e está “curvada para baixo”.

Resposta

A função é positiva definida se e , e é negativa definida se e .

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respectivamente, em que e são as taxas de crescimento das duas populações, e e são seus níveis de saturação. No entanto, quando ambas as espécies estão presentes, cada uma vai afetar o suprimento de comida disponível para a outra. De fato, elas reduzem as taxas de crescimento e os níveis de saturação uma da outra. A expressão mais simples para reduzir a taxa de crescimento da espécie devido à presença da espécie é substituir o fator de crescimento na Eq. (1a) por , em que é uma medida do grau de interferência da espécie sobre a espécie . Analogamente, substituímos na Eq. (1b) por . Obtemos, assim, o sistema de equações
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(b)
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