A função
é positiva definida se, e somente se,
e é negativa definida se, e somente se,
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função quadrática de duas variáveis:
E precisamos descobrir quando essa função é positiva definida ou negativa definida. Isso faz parte do conteúdo de formas quadráticas na matemática. Para resolver isso, vamos usar critérios que envolvem os coeficientes
,
e
da função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser positiva definida ou negativa definida.
- Positiva definida: A função
é sempre maior que zero, ou seja, para todos os diferentes de zero. - Negativa definida: A função
é sempre menor que zero, ou seja, para todos os diferentes de zero.
Passo 3
Para determinar a definitude da forma quadrática, usamos o determinante da matriz associada à função. A matriz para nossa função
é:
O determinante dessa matriz é calculado por:
Multiplicando ambos os lados por 4 para simplificar, temos:
Esse valor da desigualdade nos ajuda a determinar a definitude da função.
Passo 4
Agora, vamos aplicar esses conceitos para encontrar as condições para
ser positiva ou negativa definida.
-
Positiva definida:
- Primeiro, o coeficiente
deve ser positivo ( ). - Segundo, o determinante
deve ser positivo ( ).
Isso garante que a função não tem valores negativos e está “curvada para cima”. - Primeiro, o coeficiente
-
Negativa definida:
- Primeiro, o coeficiente
deve ser negativo ( ). - Segundo, o determinante
deve ser positivo ( ).
Isso garante que a função não tem valores positivos e está “curvada para baixo”. - Primeiro, o coeficiente
Resposta
A função
é positiva definida se
e
, e é negativa definida se
e
.