A função
é positiva definida se, e somente se,
e é negativa definida se, e somente se,
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função quadrática de duas variáveis:
E precisamos descobrir quando essa função é positiva definida ou negativa definida. Isso faz parte do conteúdo de formas quadráticas na matemática. Para resolver isso, vamos usar critérios que envolvem os coeficientes
,
e
da função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser positiva definida ou negativa definida.
- Positiva definida: A função
é sempre maior que zero, ou seja, para todos os diferentes de zero. - Negativa definida: A função
é sempre menor que zero, ou seja, para todos os diferentes de zero.
Passo 3
Para determinar a definitude da forma quadrática, usamos o determinante da matriz associada à função. A matriz para nossa função
é:
O determinante dessa matriz é calculado por:
Multiplicando ambos os lados por 4 para simplificar, temos:
Esse valor da desigualdade nos ajuda a determinar a definitude da função.
Passo 4
Agora, vamos aplicar esses conceitos para encontrar as condições para
ser positiva ou negativa definida.
-
Positiva definida:
- Primeiro, o coeficiente
deve ser positivo ( ). - Segundo, o determinante
deve ser positivo ( ).
Isso garante que a função não tem valores negativos e está “curvada para cima”. - Primeiro, o coeficiente
-
Negativa definida:
- Primeiro, o coeficiente
deve ser negativo ( ). - Segundo, o determinante
deve ser positivo ( ).
Isso garante que a função não tem valores positivos e está “curvada para baixo”. - Primeiro, o coeficiente
Resposta
A função
é positiva definida se
e
, e é negativa definida se
e
.
Exercícios relacionados
respectivamente, em que
e
são as taxas de crescimento das duas populações, e
e
são seus níveis de saturação. No entanto, quando ambas as espécies estão presentes, cada uma vai afetar o suprimento de comida disponível para a outra. De fato, elas reduzem as taxas de crescimento e os níveis de saturação uma da outra. A expressão mais simples para reduzir a taxa de crescimento da espécie
devido à presença da espécie
é substituir o fator de crescimento
na Eq. (1a) por
, em que
é uma medida do grau de interferência da espécie
sobre a espécie
. Analogamente, substituímos
na Eq. (1b) por
. Obtemos, assim, o sistema de equações
Os valores das constantes positivas
e
dependem das espécies particulares em consideração e têm que ser determinados, em geral, através de observações. Estamos interessados nas soluções das Eqs. (2) para as quais
e
não são negativos.
Transforme cada equação cartesiana em polar:
(b)
(b)
Calcule a integral de superfície
para o campo vetorial
, em que
é parte do paraboloide
, com
.
Suponha que as funções
têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas em um domínio simplesmente conexo
do plano
. Se
tiver o mesmo sinal em todos os pontos de
, então não existirá trajetória fechada do sistema (15) inteiramente contida em
.