Classificar as equações diferenciais quanto ao tipo, a linearidade, a ordem e o grau:
a) (1-x) y'' - 4x y' + 5y = cos(x);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente classificar uma equação diferencial em quatro aspectos: tipo, linearidade, ordem e grau. A equação que temos é:
Para isso, vamos precisar entender o que cada um desses termos significa:
  • Tipo: Se é ordinária ou parcial, e se é linear ou não.
  • Linearidade: Se a equação é linear ou não-linear.
  • Ordem: A ordem mais alta da derivada presente na equação.
  • Grau: O expoente da derivada de maior ordem quando a equação está polinomial em relação às derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo da equação. Como a equação envolve derivadas de y em relação a x e todas as derivadas são ordinais (não parciais), a equação é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO).

Passo 3

Agora vamos ver a ordem da equação. A ordem é determinada pela derivada de maior ordem presente. Aqui, temos , que é a segunda derivada. Portanto, a ordem da equação é segunda ordem.

Passo 4

Em seguida, vamos analisar a linearidade da equação. Uma equação diferencial é linear se ela pode ser escrita na forma:
Sem termos como , , etc. Na nossa equação:
Vemos que todas as derivadas aparecem de forma linear (sem potências ou produtos entre elas). Logo, a equação é linear.

Passo 5

Por último, vamos determinar o grau da equação. O grau é o expoente da derivada de maior ordem quando a equação está polinomial em relação às derivadas. Nossa equação tem elevado a 1, então o grau é 1.

Resposta

A equação diferencial é:
  • Tipo: Equação Diferencial Ordinária (EDO)
  • Ordem: Segunda ordem
  • Linearidade: Linear
  • Grau: 1

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