respectivamente, em que
e
são as taxas de crescimento das duas populações, e
e
são seus níveis de saturação. No entanto, quando ambas as espécies estão presentes, cada uma vai afetar o suprimento de comida disponível para a outra. De fato, elas reduzem as taxas de crescimento e os níveis de saturação uma da outra. A expressão mais simples para reduzir a taxa de crescimento da espécie
devido à presença da espécie
é substituir o fator de crescimento
na Eq. (1a) por
, em que
é uma medida do grau de interferência da espécie
sobre a espécie
. Analogamente, substituímos
na Eq. (1b) por
. Obtemos, assim, o sistema de equações
Os valores das constantes positivas
e
dependem das espécies particulares em consideração e têm que ser determinados, em geral, através de observações. Estamos interessados nas soluções das Eqs. (2) para as quais
e
não são negativos.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! Temos um sistema de equações diferenciais que modela o crescimento de duas populações,
e
. As equações são:
Aqui,
e
são as taxas de crescimento das populações,
e
representam os níveis de saturação, e
e
medem como cada espécie interfere na outra. Nosso objetivo é encontrar as soluções para
e
que não sejam negativas, ou seja, pontos de equilíbrio onde as populações não mudam.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa encontrar soluções onde
e
não são negativos. Estamos buscando os pontos de equilíbrio do sistema, onde as taxas de variação
e
são iguais a zero. Isso indica que as populações estão estáveis nessa condição.
Passo 3
Vamos então definir as equações de equilíbrio:
Para essas equações serem iguais a zero, ou o fator
e
deve ser zero, ou as expressões dentro dos parênteses devem ser zero.
Passo 4
Vamos considerar as possíveis soluções:
-
Caso 1:
e - Ambas as populações são zero.
-
Caso 2:
e - Resolvendo para
:
- Resolvendo para
-
Caso 3:
e - Resolvendo para
:
- Resolvendo para
-
Caso 4:
e - Aqui, precisamos resolver o sistema de equações simultâneas para encontrar
e .
- Aqui, precisamos resolver o sistema de equações simultâneas para encontrar
Passo 5
Vamos resolver o Caso 4:
Temos o sistema:
Podemos resolver isso por métodos usuais, como substituição ou eliminação. Por exemplo, podemos isolar
na primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Resolvendo essa equação para
, e depois usando o valor encontrado para
na expressão de
, obtemos os valores de equilíbrio das duas populações.
Resposta
Os pontos de equilíbrio do sistema são:
-
-
-
-
, desde que
Esses são os pontos onde as populações
e
permanecem constantes ao longo do tempo.