respectivamente, em que e são as taxas de crescimento das duas populações, e e são seus níveis de saturação. No entanto, quando ambas as espécies estão presentes, cada uma vai afetar o suprimento de comida disponível para a outra. De fato, elas reduzem as taxas de crescimento e os níveis de saturação uma da outra. A expressão mais simples para reduzir a taxa de crescimento da espécie devido à presença da espécie é substituir o fator de crescimento na Eq. (1a) por , em que é uma medida do grau de interferência da espécie sobre a espécie . Analogamente, substituímos na Eq. (1b) por . Obtemos, assim, o sistema de equações
Os valores das constantes positivas e dependem das espécies particulares em consideração e têm que ser determinados, em geral, através de observações. Estamos interessados nas soluções das Eqs. (2) para as quais e não são negativos.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! Temos um sistema de equações diferenciais que modela o crescimento de duas populações, e . As equações são:
Aqui, e são as taxas de crescimento das populações, e representam os níveis de saturação, e e medem como cada espécie interfere na outra. Nosso objetivo é encontrar as soluções para e que não sejam negativas, ou seja, pontos de equilíbrio onde as populações não mudam.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa encontrar soluções onde e não são negativos. Estamos buscando os pontos de equilíbrio do sistema, onde as taxas de variação e são iguais a zero. Isso indica que as populações estão estáveis nessa condição.

Passo 3

Vamos então definir as equações de equilíbrio:
Para essas equações serem iguais a zero, ou o fator e deve ser zero, ou as expressões dentro dos parênteses devem ser zero.

Passo 4

Vamos considerar as possíveis soluções:
  1. Caso 1: e
    • Ambas as populações são zero.
  2. Caso 2: e
    • Resolvendo para :
  3. Caso 3: e
    • Resolvendo para :
  4. Caso 4: e
    • Aqui, precisamos resolver o sistema de equações simultâneas para encontrar e .

Passo 5

Vamos resolver o Caso 4:
Temos o sistema:
Podemos resolver isso por métodos usuais, como substituição ou eliminação. Por exemplo, podemos isolar na primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Resolvendo essa equação para , e depois usando o valor encontrado para na expressão de , obtemos os valores de equilíbrio das duas populações.

Resposta

Os pontos de equilíbrio do sistema são:
  1. , desde que
Esses são os pontos onde as populações e permanecem constantes ao longo do tempo.

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(b)
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onde é o resto, é o quociente, o divisor e o dividendo. Então podemos escrever
A função
é positiva definida se, e somente se,
e é negativa definida se, e somente se,
Calcule a integral de superfície para o campo vetorial , em que é parte do paraboloide , com .