& d x / d t=x(epsilon1-sigma1 x) & d y / d t=y(epsilon2-sigma2 y)
respectivamente, em que epsilon1 e epsilon2 são as taxas de crescimento das duas populações, e epsilon1 / sigma1 e epsilon2 / sigma2 são seus níveis de saturação. No entanto, quando ambas as espécies estão presentes, cada uma vai afetar o suprimento de comida disponível para a outra. De fato, elas reduzem as taxas de crescimento e os níveis de saturação uma da outra. A expressão mais simples para reduzir a taxa de crescimento da espécie x devido à presença da espécie y é substituir o fator de crescimento epsilon1-sigma1 x na Eq. (1a) por epsilon1-sigma1 x-alpha1 y, em que alpha1 é uma medida do grau de interferência da espécie y sobre a espécie x. Analogamente, substituímos epsilon2-sigma2 y na Eq. (1b) por epsilon2-sigma2 y-alpha2 x. Obtemos, assim, o sistema de equações
& d x / d t=x(epsilon1-sigma1 x-alpha1 y) & d y / d t=y(epsilon2-sigma2 y-alpha2 x)
Os valores das constantes positivas epsilon1, sigma1, alpha1, epsilon2, sigma2 e alpha2 dependem das espécies particulares em consideração e têm que ser determinados, em geral, através de observações. Estamos interessados nas soluções das Eqs. (2) para as quais x e y não são negativos.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! Temos um sistema de equações diferenciais que modela o crescimento de duas populações, & dxdt = x(epsilon1 - sigma1 x - alpha1 y) & dydt = y(epsilon2 - sigma2 y - alpha2 x) e . As equações são:
Aqui, e são as taxas de crescimento das populações, e representam os níveis de saturação, e e medem como cada espécie interfere na outra. Nosso objetivo é encontrar as soluções para e que não sejam negativas, ou seja, pontos de equilíbrio onde as populações não mudam.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa encontrar soluções onde e não são negativos. Estamos buscando os pontos de equilíbrio do sistema, onde as taxas de variação e são iguais a zero. Isso indica que as populações estão estáveis nessa condição.

Passo 3

Vamos então definir as equações de equilíbrio:
& x(epsilon1 - sigma1 x - alpha1 y) = 0 & y(epsilon2 - sigma2 y - alpha2 x) = 0
Para essas equações serem iguais a zero, ou o fator e deve ser zero, ou as expressões dentro dos parênteses devem ser zero.

Passo 4

Vamos considerar as possíveis soluções:
  1. Caso 1: e
    • Ambas as populações são zero.
  2. Caso 2: e
    • Resolvendo para :
  3. Caso 3: e
    • Resolvendo para :
  4. Caso 4: e
    • Aqui, precisamos resolver o sistema de equações simultâneas para encontrar e .

Passo 5

Vamos resolver o Caso 4:
Temos o sistema:
epsilon1 - sigma1 x - alpha1 y = 0 epsilon2 - sigma2 y - alpha2 x = 0
Podemos resolver isso por métodos usuais, como substituição ou eliminação. Por exemplo, podemos isolar x = epsilon1 - alpha1 ysigma1 na primeira equação:
epsilon2 - sigma2 y - alpha2 ( epsilon1 - alpha1 ysigma1 ) = 0
Substituindo na segunda equação:
Resolvendo essa equação para , e depois usando o valor encontrado para na expressão de , obtemos os valores de equilíbrio das duas populações.

Resposta

Os pontos de equilíbrio do sistema são:
  1. , desde que
Esses são os pontos onde as populações e permanecem constantes ao longo do tempo.

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