respectivamente, em que e são as taxas de crescimento das duas populações, e e são seus níveis de saturação. No entanto, quando ambas as espécies estão presentes, cada uma vai afetar o suprimento de comida disponível para a outra. De fato, elas reduzem as taxas de crescimento e os níveis de saturação uma da outra. A expressão mais simples para reduzir a taxa de crescimento da espécie devido à presença da espécie é substituir o fator de crescimento na Eq. (1a) por , em que é uma medida do grau de interferência da espécie sobre a espécie . Analogamente, substituímos na Eq. (1b) por . Obtemos, assim, o sistema de equações
Os valores das constantes positivas e dependem das espécies particulares em consideração e têm que ser determinados, em geral, através de observações. Estamos interessados nas soluções das Eqs. (2) para as quais e não são negativos.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! Temos um sistema de equações diferenciais que modela o crescimento de duas populações, e . As equações são:
Aqui, e são as taxas de crescimento das populações, e representam os níveis de saturação, e e medem como cada espécie interfere na outra. Nosso objetivo é encontrar as soluções para e que não sejam negativas, ou seja, pontos de equilíbrio onde as populações não mudam.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa encontrar soluções onde e não são negativos. Estamos buscando os pontos de equilíbrio do sistema, onde as taxas de variação e são iguais a zero. Isso indica que as populações estão estáveis nessa condição.
Passo 3
Vamos então definir as equações de equilíbrio:
Para essas equações serem iguais a zero, ou o fator e deve ser zero, ou as expressões dentro dos parênteses devem ser zero.
Passo 4
Vamos considerar as possíveis soluções:
Caso 1: e
Ambas as populações são zero.
Caso 2: e
Resolvendo para :
Caso 3: e
Resolvendo para :
Caso 4: e
Aqui, precisamos resolver o sistema de equações simultâneas para encontrar e .
Passo 5
Vamos resolver o Caso 4:
Temos o sistema:
Podemos resolver isso por métodos usuais, como substituição ou eliminação. Por exemplo, podemos isolar na primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Resolvendo essa equação para , e depois usando o valor encontrado para na expressão de , obtemos os valores de equilíbrio das duas populações.
Resposta
Os pontos de equilíbrio do sistema são:
, desde que
Esses são os pontos onde as populações e permanecem constantes ao longo do tempo.