Suponha que as funções
têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas em um domínio simplesmente conexo
do plano
. Se
tiver o mesmo sinal em todos os pontos de
, então não existirá trajetória fechada do sistema (15) inteiramente contida em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema de equações diferenciais no plano
, onde temos duas funções
e
que são suaves (ou seja, têm derivadas parciais contínuas) num domínio
que é simplesmente conexo. A questão quer mostrar que, se a soma das derivadas parciais
tem sempre o mesmo sinal em todo o domínio
, então não existe nenhuma trajetória fechada do sistema totalmente dentro desse domínio. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de análise de sistemas dinâmicos e um pouco de cálculo, especialmente sobre derivadas parciais e propriedades de domínios simplesmente conexos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter uma trajetória fechada. Uma trajetória fechada é basicamente um ciclo que o sistema segue repetidamente sem nunca sair desse loop. Imagine um ponto que, ao seguir as regras do sistema, volta ao ponto de partida depois de um certo tempo.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a soma das derivadas parciais
. Esse termo é conhecido como divergência do campo vetorial
. A divergência nos dá uma ideia de como o campo está “divergindo” ou “convergindo” em cada ponto. Se a divergência tem sempre o mesmo sinal, isso indica que o campo está se expandindo ou se contraindo de forma consistente em todo o domínio.
Passo 4
Sabendo que o domínio
é simplesmente conexo (ou seja, não tem “buracos”), podemos aplicar um teorema da teoria de sistemas dinâmicos que diz: se a divergência de um campo vetorial tem sempre o mesmo sinal em um domínio simplesmente conexo, então não pode haver ciclos fechados nesse domínio. Isso acontece porque uma divergência constante impediria que o fluxo do sistema se fechasse em um ciclo sem criar acumulação ou dispersão, o que não é possível nesse cenário.
Resposta
Portanto, concluímos que se
mantém o mesmo sinal em todo o domínio
, não existe nenhuma trajetória fechada do sistema totalmente contida em
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral de superfície
para o campo vetorial
, em que
é parte do paraboloide
, com
.
A função
é positiva definida se, e somente se,
e é negativa definida se, e somente se,
Classificar as equações diferenciais quanto ao tipo, a linearidade, a ordem e o grau:
a) ;
a)
Classificar as equações diferenciais quanto ao tipo, a linearidade, a ordem e o grau:
c) ;
c)