Suponha que as funções têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas em um domínio simplesmente conexo do plano . Se tiver o mesmo sinal em todos os pontos de , então não existirá trajetória fechada do sistema (15) inteiramente contida em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema de equações diferenciais no plano , onde temos duas funções e que são suaves (ou seja, têm derivadas parciais contínuas) num domínio que é simplesmente conexo. A questão quer mostrar que, se a soma das derivadas parciais tem sempre o mesmo sinal em todo o domínio , então não existe nenhuma trajetória fechada do sistema totalmente dentro desse domínio. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de análise de sistemas dinâmicos e um pouco de cálculo, especialmente sobre derivadas parciais e propriedades de domínios simplesmente conexos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter uma trajetória fechada. Uma trajetória fechada é basicamente um ciclo que o sistema segue repetidamente sem nunca sair desse loop. Imagine um ponto que, ao seguir as regras do sistema, volta ao ponto de partida depois de um certo tempo.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a soma das derivadas parciais . Esse termo é conhecido como divergência do campo vetorial . A divergência nos dá uma ideia de como o campo está “divergindo” ou “convergindo” em cada ponto. Se a divergência tem sempre o mesmo sinal, isso indica que o campo está se expandindo ou se contraindo de forma consistente em todo o domínio.

Passo 4

Sabendo que o domínio é simplesmente conexo (ou seja, não tem “buracos”), podemos aplicar um teorema da teoria de sistemas dinâmicos que diz: se a divergência de um campo vetorial tem sempre o mesmo sinal em um domínio simplesmente conexo, então não pode haver ciclos fechados nesse domínio. Isso acontece porque uma divergência constante impediria que o fluxo do sistema se fechasse em um ciclo sem criar acumulação ou dispersão, o que não é possível nesse cenário.

Resposta

Portanto, concluímos que se mantém o mesmo sinal em todo o domínio , não existe nenhuma trajetória fechada do sistema totalmente contida em .

Exercícios relacionados

Calcule a integral de superfície para o campo vetorial , em que é parte do paraboloide , com .
A função
é positiva definida se, e somente se,
e é negativa definida se, e somente se,
Classificar as equações diferenciais quanto ao tipo, a linearidade, a ordem e o grau:
a) ;
Classificar as equações diferenciais quanto ao tipo, a linearidade, a ordem e o grau:
c) ;