Calcule a integral de superfície
para o campo vetorial
e a superfície
. Para superfícies fechadas, use a orientação(para o exterior) positiva.
,
é o hemisfério
, orientado na direção do eixo positivo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral de superfície
para o campo vetorial
e a superfície
, que é o hemisfério
com
. A orientação dessa superfície é na direção positiva do eixo
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a integral de superfície e o teorema de divergência. Precisaremos entender como parametrizar a superfície e aplicar o teorema de Gauss para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a superfície
: é um hemisfério de raio 5 (já que
é
) localizado no espaço tridimensional, limitado pela condição
, ou seja, a metade do hemisfério onde o
é positivo ou zero. A orientação na direção positiva do eixo
significa que a normal à superfície aponta para fora na direção positiva de
.
Passo 3
Para calcular a integral de superfície, podemos usar o teorema de divergência (ou teorema de Gauss), que relaciona a integral de superfície de um campo vetorial com a integral de volume da divergência desse campo. A fórmula é:
Isso vai simplificar nosso trabalho, já que calcular a divergência é mais fácil do que parametrizar a superfície diretamente.
Passo 4
Vamos calcular a divergência do campo vetorial
. A divergência de
é dada por:
Calculando cada derivada:
Então,
Passo 5
Agora, precisamos determinar o volume
limitado pela superfície
. Como
é o hemisfério
com
, o volume
é a metade do volume de uma esfera completa de raio 5. Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas esféricas, onde:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Passo 6
Vamos determinar os limites de integração:
-
varia de a (raio da esfera). -
varia de a (ângulo polar). - Como
, o ângulo varia de a (metade da esfera).
Então, nossa integral de volume fica:
Passo 7
Vamos resolver a integral passo a passo:
Primeiro, integremos em relação a
:
Agora, a integral fica:
Em seguida, integramos em relação a
. Observe que:
Aplicando os limites de
a
:
Passo 8
Observamos que a integral em
resultou em zero. Isso acontece porque a função
é simétrica em relação ao plano equatorial da esfera, e ao integrar de
a
, as contribuições positivas e negativas se anulam. Portanto, a integral de volume é zero.
Resposta
A integral de superfície
é igual a
.