Calcule a integral de superfície integral duplaS F d S para o campo vetorial F e a superfície S. Para superfícies fechadas, use a orientação(para o exterior) positiva. F(x, y, z)=lang<= x z, x, yrang<=, S é o hemisfério x^2+y^2+z^2=25, y >= 0, orientado na direção do eixo positivo y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral de superfície integral duplaS F cdot dS para o campo vetorial F(x, y, z) = lang<= x z, x, y rang<= e a superfície S, que é o hemisfério x^2+y^2+z^2=25 com y >= 0. A orientação dessa superfície é na direção positiva do eixo y. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a integral de superfície e o teorema de divergência. Precisaremos entender como parametrizar a superfície e aplicar o teorema de Gauss para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a superfície S: é um hemisfério de raio 5 (já que 25 é 5^2) localizado no espaço tridimensional, limitado pela condição y >= 0, ou seja, a metade do hemisfério onde o y é positivo ou zero. A orientação na direção positiva do eixo y significa que a normal à superfície aponta para fora na direção positiva de y.

Passo 3

Para calcular a integral de superfície, podemos usar o teorema de divergência (ou teorema de Gauss), que relaciona a integral de superfície de um campo vetorial com a integral de volume da divergência desse campo. A fórmula é:
integral duplaS F cdot dS = integral triplaV (nabla cdot F) , dV
Isso vai simplificar nosso trabalho, já que calcular a divergência é mais fácil do que parametrizar a superfície diretamente.

Passo 4

Vamos calcular a divergência do campo vetorial F(x, y, z) = lang<= x z, x, y rang<=. A divergência de F é dada por:
nabla cdot F = partialpartial x(x z) + partialpartial y(x) + partialpartial z(y)
Calculando cada derivada:
partialpartial x(x z) = z
partialpartial y(x) = 0
partialpartial z(y) = 0
Então,
nabla cdot F = z

Passo 5

Agora, precisamos determinar o volume V limitado pela superfície S. Como S é o hemisfério x^2+y^2+z^2=25 com y >= 0, o volume V é a metade do volume de uma esfera completa de raio 5. Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas esféricas, onde:
x = rho sinphi costheta
y = rho sinphi sintheta
z = rho cosphi
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta

Passo 6

Vamos determinar os limites de integração:
  • rho varia de 0 a 5 (raio da esfera).
  • phi varia de 0 a pi (ângulo polar).
  • Como y >= 0, o ângulo theta varia de 0 a pi (metade da esfera).
Então, nossa integral de volume fica:
integral triplaV z , dV = integral0^5 integral0^pi integral0^pi (rho cosphi) cdot rho^2 sinphi , dtheta , dphi , drho

Passo 7

Vamos resolver a integral passo a passo:
Primeiro, integremos em relação a theta:
integral0^pi dtheta = pi
Agora, a integral fica:
pi integral0^5 integral0^pi rho^3 cosphi sinphi , dphi , drho
Em seguida, integramos em relação a phi. Observe que:
integral cosphi sinphi , dphi = 12 sin^2phi
Aplicando os limites de 0 a pi:
12 [sin^2pi - sin^20] = 12 (0 - 0) = 0

Passo 8

Observamos que a integral em phi resultou em zero. Isso acontece porque a função cosphi sinphi é simétrica em relação ao plano equatorial da esfera, e ao integrar de 0 a pi, as contribuições positivas e negativas se anulam. Portanto, a integral de volume é zero.

Resposta

A integral de superfície integral duplaS F cdot dS é igual a 0.

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