Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências: sumk=0^+infty (x-3)^k2^k

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que achar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências dada:
sumk=0^+infty (x-3)^k2^k
Isso envolve entender séries de potências e como determinar onde elas “funcionam”, ou seja, onde elas convergem para um valor finito.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série de uma forma que fique mais fácil de trabalhar. A série é:
sumk=0^+infty (x-32)^k
Isso parece uma série geométrica, que tem a forma:
sumk=0^+infty r^k
Onde é a razão comum.

Passo 3

Sabemos que uma série geométrica converge se o valor absoluto de |r| < 1 for menor que 1, ou seja:
| x-32 | < 1
No nosso caso, . Então, para a série convergir, precisamos que:

Passo 4

Vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de | x-32 | < 1 que satisfazem a condição:
|x - 3| < 2
Multiplicando ambos os lados por 2:
Isso significa que a distância entre e 3 deve ser menor que 2.

Passo 5

Resolvendo a inequação -2 < x - 3 < 2 :
1 < x < 5
Adicionando 3 em todas as partes da desigualdade:
Então, a série converge para valores de entre 1 e 5.

Passo 6

Agora, vamos determinar o raio de convergência. Sabemos que a série converge quando:
|x - 3| < 2
O raio de convergência é o número que multiplica a variável dentro do valor absoluto, ou seja, .

Passo 7

Por último, devemos verificar os pontos finais do intervalo sumk=0^+infty (1-32)^k = sumk=0^+infty (-1)^k e sumk=0^+infty (5-32)^k = sumk=0^+infty 1^k para ver se a série também converge nesses pontos.
  • Para :
Essa série alternada não converge.
  • Para :
Essa série diverge pois soma infinito de 1.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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