Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que achar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências dada:
Isso envolve entender séries de potências e como determinar onde elas “funcionam”, ou seja, onde elas convergem para um valor finito.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a série de uma forma que fique mais fácil de trabalhar. A série é:
Isso parece uma série geométrica, que tem a forma:
Onde
é a razão comum.
Passo 3
Sabemos que uma série geométrica converge se o valor absoluto de
for menor que 1, ou seja:
No nosso caso,
. Então, para a série convergir, precisamos que:
Passo 4
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de
que satisfazem a condição:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Isso significa que a distância entre
e 3 deve ser menor que 2.
Passo 5
Resolvendo a inequação
:
Adicionando 3 em todas as partes da desigualdade:
Então, a série converge para valores de
entre 1 e 5.
Passo 6
Agora, vamos determinar o raio de convergência. Sabemos que a série converge quando:
O raio de convergência
é o número que multiplica a variável dentro do valor absoluto, ou seja,
.
Passo 7
Por último, devemos verificar os pontos finais do intervalo
e
para ver se a série também converge nesses pontos.
- Para
:
Essa série alternada não converge.
- Para
:
Essa série diverge pois soma infinito de 1.
Resposta
O raio de convergência é
e o intervalo de convergência é
.
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes equações exponenciais:
Calcule a integral de superfície
para o campo vetorial
e a superfície
. Para superfícies fechadas, use a orientação(para o exterior) positiva.
,
é o hemisfério
, orientado na direção do eixo positivo
.
Resolva as seguintes equações exponenciais:
Decida se cada função
possui alguma raiz e em caso afirmativo, calcule-as: