Calcule a integral de superfície , em que e é a superfície dada por e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de superfície de um campo vetorial sobre a superfície definida por , com variando de 0 a 1 e de 0 a 2. Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente integração de campos vetoriais sobre superfícies. Precisamos parametrizar a superfície, encontrar o vetor normal e então configurar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a superfície . Como está dado em função de e , podemos usar e como parâmetros. Então, a parametrização fica:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os vetores tangentes à superfície em relação a e . Calculamos as derivadas parciais de :
Passo 4
O próximo passo é encontrar o vetor normal à superfície, que é o produto vetorial de e :
Simplificando:
Passo 5
Agora, expressamos o campo vetorial na parametrização da superfície: