Calcule a integral de superfície , em que e é a superfície dada por e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de superfície de um campo vetorial sobre a superfície definida por , com variando de 0 a 1 e de 0 a 2. Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente integração de campos vetoriais sobre superfícies. Precisamos parametrizar a superfície, encontrar o vetor normal e então configurar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a superfície . Como está dado em função de e , podemos usar e como parâmetros. Então, a parametrização fica:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os vetores tangentes à superfície em relação a e . Calculamos as derivadas parciais de :

Passo 4

O próximo passo é encontrar o vetor normal à superfície, que é o produto vetorial de e :
Simplificando:

Passo 5

Agora, expressamos o campo vetorial na parametrização da superfície:

Passo 6

A integral de superfície de sobre é dada por:
Onde é a região no plano , ou seja, e .

Passo 7

Calculamos o produto escalar :

Passo 8

Agora, configuramos a integral dupla:

Passo 9

Vamos integrar em relação a primeiro:
Calculando nos limites:

Passo 10

Agora, integramos o resultado em rela��ão a :
Calculando nos limites:

Resposta

A integral de superfície é igual a .

Exercícios relacionados

Sejam , e a superfície fronteira do sólido , com normal apontando para fora do sólido E. Calcule a integral de superfície .
Seja uma superfície orientada com vetor normal unitário . Considere um fluido com densidade e campo de velocidade escoando através de . Então a vazão (em unidade de massa por unidade de tempo) do fluido através de é dada por
Suponha que um fluido tem densidade e escoa em um campo de velocidade , onde e são medidos em metros e as componentes de em metros por segundo. Encontre a vazão para fora do hemisfério .
Seja uma superfície orientada com vetor normal unitário . Considere um fluido com densidade e campo de velocidade escoando através de . Então a vazão (em unidade de massa por unidade de tempo) do fluido através de é dada por
A água do mar tem densidade e escoa em um campo de velocidade , onde e são medidos em metros e as componentes de em metros por segundo. Encontre a vazão para fora do hemisfério .
Use o Teorema de Stokes para calcular , em que , e é a curva fronteira da parte do plano no primeiro octante, orientada no sentido horário quando vista de cima. (Atenção: Verifique a orientação da curva antes de aplicar o Teorema).