Calcule a integral de superfície integral duplaS F d S, em que F(x, y, z)=(2 x, 3,3) e S é a superfície dada por z=x+y^2, 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de superfície de um campo vetorial F(x, y, z) = (2x, 3, 3) sobre a superfície S definida por z = x + y^2, com x variando de 0 a 1 e y de 0 a 2. Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente integração de campos vetoriais sobre superfícies. Precisamos parametrizar a superfície, encontrar o vetor normal e então configurar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a superfície S. Como z está dado em função de x e y, podemos usar x e y como parâmetros. Então, a parametrização fica:
r(x, y) = (x, y, x + y^2)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os vetores tangentes à superfície em relação a x e y. Calculamos as derivadas parciais de r:
rx = partial rpartial x = (1, 0, 1)
ry = partial rpartial y = (0, 1, 2y)

Passo 4

O próximo passo é encontrar o vetor normal à superfície, que é o produto vetorial de rx e ry:
n = rx times ry = i & j & k 1 & 0 & 1 0 & 1 & 2y = (0 cdot 2y - 1 cdot 1)i - (1 cdot 2y - 0 cdot 1)j + (1 cdot 1 - 0 cdot 0)k
Simplificando:
n = (-1, -2y, 1)

Passo 5

Agora, expressamos o campo vetorial F na parametrização da superfície:
F(r(x, y)) = (2x, 3, 3)

Passo 6

A integral de superfície de F sobre S é dada por:
integral duplaS F cdot n , dS = integral duplaD F(r(x, y)) cdot (rx times ry) , dx , dy
Onde D é a região no plano xy, ou seja, 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 2.

Passo 7

Calculamos o produto escalar F cdot n:
F cdot n = (2x)(-1) + (3)(-2y) + (3)(1) = -2x -6y +3

Passo 8

Agora, configuramos a integral dupla:
integral duplaD (-2x -6y +3) , dx , dy = integral0^1 integral0^2 (-2x -6y +3) , dy , dx

Passo 9

Vamos integrar em relação a y primeiro:
integral0^2 (-2x -6y +3) , dy = [ -2x y -3y^2 +3y ]0^2
Calculando nos limites:
= (-2x cdot 2 -3 cdot 2^2 +3 cdot 2) - (0) = (-4x -12 +6) = -4x -6

Passo 10

Agora, integramos o resultado em rela��ão a x:
integral0^1 (-4x -6) , dx = [ -2x^2 -6x ]0^1
Calculando nos limites:
= (-2 cdot 1^2 -6 cdot 1) - (0) = -2 -6 = -8

Resposta

A integral de superfície integral duplaS F , dS é igual a -8.

Exercícios relacionados