Calcule a integral de superfície , em que e é a superfície dada por e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de superfície de um campo vetorial sobre a superfície definida por , com variando de 0 a 1 e de 0 a 2. Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente integração de campos vetoriais sobre superfícies. Precisamos parametrizar a superfície, encontrar o vetor normal e então configurar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a superfície . Como está dado em função de e , podemos usar e como parâmetros. Então, a parametrização fica:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os vetores tangentes à superfície em relação a e . Calculamos as derivadas parciais de :
Passo 4
O próximo passo é encontrar o vetor normal à superfície, que é o produto vetorial de e :
Simplificando:
n = (-1, -2y, 1)
Passo 5
Agora, expressamos o campo vetorial F na parametrização da superfície:
F(r(x, y)) = (2x, 3, 3)
Passo 6
A integral de superfície de F sobre S é dada por:
integral duplaS F cdot n , dS = integral duplaD F(r(x, y)) cdot (rx times ry) , dx , dy
Onde D é a região no plano xy, ou seja, 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 2.
Passo 7
Calculamos o produto escalar F cdot n:
F cdot n = (2x)(-1) + (3)(-2y) + (3)(1) = -2x -6y +3
Passo 8
Agora, configuramos a integral dupla:
integral duplaD (-2x -6y +3) , dx , dy = integral0^1 integral0^2 (-2x -6y +3) , dy , dx
Passo 9
Vamos integrar em relação a y primeiro:
integral0^2 (-2x -6y +3) , dy = [ -2x y -3y^2 +3y ]0^2