Sejam , e a superfície fronteira do sólido , com normal apontando para fora do sólido E. Calcule a integral de superfície .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície da função vetorial sobre a superfície , que é a fronteira do sólido . A matéria envolvida aqui é Cálculo Vetorial, mais especificamente o Teorema da Divergência. Para resolver, vamos precisar calcular a divergência de e depois integrar isso sobre o volume do sólido .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é divergência. A divergência de um campo vetorial é dada por:
Isso nos dá uma medida de quanto o campo está “saindo” de um ponto.

Passo 3

Vamos calcular a divergência de .
Calculando cada derivada parcial:
  1. Para :
  1. Para :
Primeiro, expandindo :
  1. Para :

Passo 4

Agora, somamos essas derivadas parciais para obter a divergência:
Os termos e se cancelam.

Passo 5

Com a divergência calculada, podemos aplicar o Teorema da Divergência, que nos diz que:
Então, precisamos integrar sobre o volume .

Passo 6

Vamos descrever o volume : , , . Como a expressão da divergência não depende de e , a integral em e será simples.
A integral tripla fica:

Passo 7

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em de 2 a 4:
Depois, integramos em de -3 a -1:
Agora, a integral tripla simplifica para:

Passo 8

Vamos agora calcular a integral em :
Vamos dividir em termos:
Calculando cada parte:
  1. Integração por partes de :
  1. Integração por partes de :
Isso resulta em
  1. Para

Passo 9

Substituindo os limites de integração de 0 a :
  1. avaliado de 0 a :
  1. avaliado de 0 a :
  1. avaliado de 0 a :

Passo 10

Somando todas as partes:
Multiplicando pelos 4 que tínhamos anteriormente:

Resposta

A integral de superfície é igual a .

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