Sejam
, e
a superfície fronteira do sólido
, com normal apontando para fora do sólido E. Calcule a integral de superfície
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície da função vetorial
sobre a superfície
, que é a fronteira do sólido
. A matéria envolvida aqui é Cálculo Vetorial, mais especificamente o Teorema da Divergência. Para resolver, vamos precisar calcular a divergência de
e depois integrar isso sobre o volume do sólido
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é divergência. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
Isso nos dá uma medida de quanto o campo está “saindo” de um ponto.
Passo 3
Vamos calcular a divergência de
.
Calculando cada derivada parcial:
- Para
:
- Para
:
Primeiro, expandindo
:
- Para
:
Passo 4
Agora, somamos essas derivadas parciais para obter a divergência:
Os termos
e
se cancelam.
Passo 5
Com a divergência calculada, podemos aplicar o Teorema da Divergência, que nos diz que:
Então, precisamos integrar
sobre o volume
.
Passo 6
Vamos descrever o volume
:
,
,
. Como a expressão da divergência não depende de
e
, a integral em
e
será simples.
A integral tripla fica:
Passo 7
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em
de 2 a 4:
Depois, integramos em
de -3 a -1:
Agora, a integral tripla simplifica para:
Passo 8
Vamos agora calcular a integral em
:
Vamos dividir em termos:
Calculando cada parte:
- Integração por partes de
:
- Integração por partes de
:
Isso resulta em
- Para
Passo 9
Substituindo os limites de integração de 0 a
:
-
avaliado de 0 a :
-
avaliado de 0 a :
-
avaliado de 0 a :
Passo 10
Somando todas as partes:
Multiplicando pelos 4 que tínhamos anteriormente:
Resposta
A integral de superfície é igual a
.