Sejam F(x, y, z)=(-e^x+z-y^2, x^2+(y^2+1) cos y, 3 z+z e^x), e S a superfície fronteira do sólido E=(x, y, z) in R^3 ; 2 <= x <= 4,0 <= y <= pi2,-3 <= z <=-1, com normal apontando para fora do sólido E. Calcule a integral de superfície integral duplaS F d S.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície da função vetorial F(x, y, z) sobre a superfície S, que é a fronteira do sólido E. A matéria envolvida aqui é Cálculo Vetorial, mais especificamente o Teorema da Divergência. Para resolver, vamos precisar calcular a divergência de F e depois integrar isso sobre o volume do sólido E.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é divergência. A divergência de um campo vetorial F = (Fx, Fy, Fz) é dada por:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Isso nos dá uma medida de quanto o campo está “saindo” de um ponto.

Passo 3

Vamos calcular a divergência de F(x, y, z) = (-e^x + z - y^2, x^2 + (y^2 + 1) cos y, 3z + z e^x).
Calculando cada derivada parcial:
  1. Para Fx = -e^x + z - y^2:
partial Fxpartial x = -e^x
  1. Para Fy = x^2 + (y^2 + 1) cos y:
Primeiro, expandindo (y^2 + 1) cos y:
partialpartial y [ (y^2 + 1) cos y ] = (2y) cos y + (y^2 + 1)(- sin y) = 2y cos y - (y^2 + 1) sin y
  1. Para Fz = 3z + z e^x:
partial Fzpartial z = 3 + e^x

Passo 4

Agora, somamos essas derivadas parciais para obter a divergência:
nabla cdot F = -e^x + (2y cos y - (y^2 + 1) sin y ) + (3 + e^x) = 2y cos y - (y^2 + 1) sin y + 3
Os termos -e^x e e^x se cancelam.

Passo 5

Com a divergência calculada, podemos aplicar o Teorema da Divergência, que nos diz que:
integral duplaS F cdot dS = integral triplaE nabla cdot F , dV
Então, precisamos integrar nabla cdot F = 2y cos y - (y^2 + 1) sin y + 3 sobre o volume E.

Passo 6

Vamos descrever o volume E: 2 <= x <= 4, 0 <= y <= pi2, -3 <= z <= -1. Como a expressão da divergência não depende de x e z, a integral em x e z será simples.
A integral tripla fica:
integral triplaE (2y cos y - (y^2 + 1) sin y + 3) dx , dy , dz

Passo 7

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em x de 2 a 4:
integral2^4 dx = 4 - 2 = 2
Depois, integramos em z de -3 a -1:
integral-3^-1 dz = (-1) - (-3) = 2
Agora, a integral tripla simplifica para:
2 times 2 times integral0^pi2 (2y cos y - (y^2 + 1) sin y + 3) dy = 4 integral0^pi2 (2y cos y - (y^2 + 1) sin y + 3) dy

Passo 8

Vamos agora calcular a integral em y:
integral0^pi2 (2y cos y - (y^2 + 1) sin y + 3) dy
Vamos dividir em termos:
  1. integral 2y cos y , dy
  2. -integral (y^2 + 1) sin y , dy
  3. integral 3 , dy
Calculando cada parte:
  1. Integração por partes de 2y cos y:
integral 2y cos y , dy = 2y sin y + 2 cos y
  1. Integração por partes de (y^2 + 1) sin y:
Isso resulta em -(y^2 + 1) cos y + 2y sin y + 2 cos y
  1. Para integral 3 , dy = 3y

Passo 9

Substituindo os limites de integração de 0 a pi2:
  1. 2y sin y + 2 cos y avaliado de 0 a pi2:
2 cdot pi2 cdot 1 + 2 cdot 0 - (0 + 2 cdot 1) = pi - 2
  1. -(y^2 + 1) cos y + 2y sin y + 2 cos y avaliado de 0 a pi2:
-((pi2)^2 + 1) cdot 0 + 2 cdot pi2 cdot 1 + 2 cdot 0 - (-(0 + 1) cdot 1 + 0 + 2 cdot 1) = pi - ( -1 + 2 ) = pi - 1
  1. 3y avaliado de 0 a pi2:
3 cdot pi2 - 0 = 3pi2

Passo 10

Somando todas as partes:
(pi - 2) - (pi - 1) + 3pi2 = pi - 2 - pi + 1 + 3pi2 = 3pi2 -1
Multiplicando pelos 4 que tínhamos anteriormente:
4 ( 3pi2 -1 ) = 6pi -4

Resposta

A integral de superfície é igual a 6pi - 4.

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