Seja uma superfície orientada com vetor normal unitário . Considere um fluido com densidade e campo de velocidade escoando através de . Então a vazão (em unidade de massa por unidade de tempo) do fluido através de é dada por
Suponha que um fluido tem densidade e escoa em um campo de velocidade , onde e são medidos em metros e as componentes de em metros por segundo. Encontre a vazão para fora do hemisfério .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a vazão de um fluido através de um hemisfério. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo vetorial, especificamente a integral de fluxo. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a integral de uma função vetorial sobre uma superfície, conhecendo a densidade do fluido e o campo de velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície pela qual o fluido está passando. Temos um hemisfério definido por com . Isso significa que é a metade superior de uma esfera de raio 2.

Passo 3

Agora, precisamos considerar o vetor normal à superfície. Como a superfície é uma esfera, o vetor normal em cada ponto é simplesmente o vetor posição normalizado. Ou seja, , já que o raio é 2.

Passo 4

A vazão é dada pela integral de superfície:
Aqui, e . Vamos calcular o produto escalar .

Passo 5

Calculando o produto escalar:
Então, a vazão fica:

Passo 6

Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas esféricas. No hemisfério, , então , , . A área diferencial em coordenadas esféricas é:
Substituindo na integral:
Simplificando:
Integrando em :

Resposta

A vazão para fora do hemisfério é .

Exercícios relacionados

Use o Teorema de Stokes para calcular , em que , e é a parte da esfera que está dentro do cilindro e acima do plano .
Calcule a integral de superfície , em que e é a superfície parametrizada dada por , com .
Sejam , e a superfície fronteira do sólido , com normal apontando para fora do sólido E. Calcule a integral de superfície .
Calcule a integral de superfície , em que e é a superfície dada por e .