Seja
uma superfície orientada com vetor normal unitário
. Considere um fluido com densidade
e campo de velocidade
escoando através de
. Então a vazão (em unidade de massa por unidade de tempo) do fluido através de
é dada por
Suponha que um fluido tem densidade
e escoa em um campo de velocidade
, onde
e
são medidos em metros e as componentes de
em metros por segundo. Encontre a vazão para fora do hemisfério
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a vazão de um fluido através de um hemisfério. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo vetorial, especificamente a integral de fluxo. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a integral de uma função vetorial sobre uma superfície, conhecendo a densidade do fluido e o campo de velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície pela qual o fluido está passando. Temos um hemisfério definido por
com
. Isso significa que é a metade superior de uma esfera de raio 2.
Passo 3
Agora, precisamos considerar o vetor normal à superfície. Como a superfície é uma esfera, o vetor normal em cada ponto é simplesmente o vetor posição
normalizado. Ou seja,
, já que o raio é 2.
Passo 4
A vazão
é dada pela integral de superfície:
Aqui,
e
. Vamos calcular o produto escalar
.
Passo 5
Calculando o produto escalar:
Então, a vazão fica:
Passo 6
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas esféricas. No hemisfério,
, então
,
,
. A área diferencial em coordenadas esféricas é:
Substituindo na integral:
Simplificando:
Integrando em
:
Resposta
A vazão para fora do hemisfério é
.