Seja S uma superfície orientada com vetor normal unitário n. Considere um fluido com densidade rho(x, y, z) e campo de velocidade v(x, y, z) escoando através de S. Então a vazão (em unidade de massa por unidade de tempo) do fluido através de S é dada por
integral duplaS rho v d S
Suponha que um fluido tem densidade 1000 kg / m^3 e escoa em um campo de velocidade v(x, y, z)= y i+x j, onde x, y e z são medidos em metros e as componentes de v em metros por segundo. Encontre a vazão para fora do hemisfério x^2+y^2+z^2=4, z >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a vazão de um fluido através de um hemisfério. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo vetorial, especificamente a integral de fluxo. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a integral de uma função vetorial sobre uma superfície, conhecendo a densidade do fluido e o campo de velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície pela qual o fluido está passando. Temos um hemisfério definido por com . Isso significa que é a metade superior de uma esfera de raio 2.

Passo 3

Agora, precisamos considerar o vetor normal à superfície. Como a superfície é uma esfera, o vetor normal em cada ponto é simplesmente o vetor posição normalizado. Ou seja, , já que o raio é 2.

Passo 4

A vazão Phi = integral duplaS rho v cdot n , dS é dada pela integral de superfície:
Aqui, e . Vamos calcular o produto escalar .

Passo 5

Calculando o produto escalar:
v cdot n = (yi + xj) cdot ( xi + yj + zk2 ) = xy + xy + 02 = 2xy2 = xy
Então, a vazão fica:
Phi = 1000 integral duplaS xy , dS

Passo 6

Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas esféricas. No hemisfério, dS = r^2 sintheta , dtheta , dphi = 4 sintheta , dtheta , dphi , então Phi = 1000 integral0^2pi integral0^pi2 (2sinthetacosphi)(2sinthetasinphi) cdot 4sintheta , dtheta , dphi , Phi = 1000 cdot 16 integral0^2pi integral0^pi2 sin^3theta cosphi sinphi , dtheta , dphi , integral0^2pi cosphi sinphi , dphi = 12 integral0^2pi sin(2phi) , dphi = 0 . A área diferencial em coordenadas esféricas é:
Substituindo na integral:
Simplificando:
Integrando em :

Resposta

A vazão para fora do hemisfério é .

Exercícios relacionados