Use o Teorema de Stokes para calcular integralC F d r, em que F(x, y, z)=(4 x^2, x+x^2, 3 e^z), e C é a curva fronteira da parte do plano 2 x+y+6 z=6 no primeiro octante, orientada no sentido horário quando vista de cima. (Atenção: Verifique a orientação da curva antes de aplicar o Teorema).

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Stokes. O enunciado pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial ao longo da curva , que é a fronteira da parte do plano no primeiro octante. Para isso, precisamos entender que o Teorema de Stokes relaciona a integral de linha ao redor de com a integral de superfície do rotacional de sobre uma superfície que tem como fronteira.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional do campo vetorial nabla times F = ( partial F3partial y - partial F2partial z, partial F1partial z - partial F3partial x, partial F2partial x - partial F1partial y ) , que é dado por:
nabla times F = ( 0 - 0, 0 - 0, (1 + 2x) - 0 ) = (0, 0, 1 + 2x)
Substituindo os componentes de :

Passo 3

Agora, vamos definir a superfície z = 6 - 2x - y6 sobre a qual vamos integrar. Como é a fronteira do plano no primeiro octante, podemos parametrizar usando e como variáveis. Resolvendo a equação do plano para :
Os limites para e são , e , o que nos dá um triângulo no primeiro octante com vértices em , e .

Passo 4

Precisamos determinar o vetor normal à superfície . A equação do plano é , então o vetor normal é . Como a curva está orientada no sentido horário visto de cima, o vetor normal deve apontar para baixo para corresponder à orientação. Portanto, usaremos .

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de superfície usando o rotacional de integralS (nabla times F) cdot dS = integralS (0, 0, 1 + 2x) cdot (2, 1, 6) , dA e o vetor normal:
(0)(2) + (0)(1) + (1 + 2x)(6) = 6 + 12x
Calculando o produto escalar:
integralS (6 + 12x) , dA
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos mudar para coordenadas dA = dx,dy e x in [0, 3], y in [0, 6 - 2x] . A área integral0^3 integral0^6 - 2x (6 + 12x) , dy , dx pode ser escrita em termos de e . Lembrando que , mas para a integral de superfície, já que estamos integrando em e , usamos:
Os limites são:
Então, a integral dupla fica:

Passo 7

Vamos resolver a integral interna com relação a integral0^6 - 2x (6 + 12x) , dy = (6 + 12x)(6 - 2x) :
(6 + 12x)(6 - 2x) = 36 - 12x + 72x - 24x^2 = 36 + 60x - 24x^2
Expandindo:

Passo 8

Agora, integramos isso em relação a integral0^3 (36 + 60x - 24x^2) , dx = [ 36x + 30x^2 - 8x^3 ]0^3 :
36(3) + 30(3)^2 - 8(3)^3 = 108 + 270 - 216 = 162
Calculando nos limites:

Resposta

A integral vale 162.

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