Use o Teorema de Stokes para calcular , em que , e é a curva fronteira da parte do plano no primeiro octante, orientada no sentido horário quando vista de cima. (Atenção: Verifique a orientação da curva antes de aplicar o Teorema).

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Stokes. O enunciado pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial ao longo da curva , que é a fronteira da parte do plano no primeiro octante. Para isso, precisamos entender que o Teorema de Stokes relaciona a integral de linha ao redor de com a integral de superfície do rotacional de sobre uma superfície que tem como fronteira.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional do campo vetorial , que é dado por:
Substituindo os componentes de :

Passo 3

Agora, vamos definir a superfície sobre a qual vamos integrar. Como é a fronteira do plano no primeiro octante, podemos parametrizar usando e como variáveis. Resolvendo a equação do plano para :
Os limites para e são , e , o que nos dá um triângulo no primeiro octante com vértices em , e .

Passo 4

Precisamos determinar o vetor normal à superfície . A equação do plano é , então o vetor normal é . Como a curva está orientada no sentido horário visto de cima, o vetor normal deve apontar para baixo para corresponder à orientação. Portanto, usaremos .

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de superfície usando o rotacional de e o vetor normal:
Calculando o produto escalar:
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos mudar para coordenadas e . A área pode ser escrita em termos de e . Lembrando que , mas para a integral de superfície, já que estamos integrando em e , usamos:
Os limites são:
Então, a integral dupla fica:

Passo 7

Vamos resolver a integral interna com relação a :
Expandindo:

Passo 8

Agora, integramos isso em relação a :
Calculando nos limites:

Resposta

A integral vale 162.

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