Use o Teorema de Stokes para calcular
, em que
, e
é a curva fronteira da parte do plano
no primeiro octante, orientada no sentido horário quando vista de cima. (Atenção: Verifique a orientação da curva antes de aplicar o Teorema).
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Stokes. O enunciado pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial
ao longo da curva
, que é a fronteira da parte do plano
no primeiro octante. Para isso, precisamos entender que o Teorema de Stokes relaciona a integral de linha ao redor de
com a integral de superfície do rotacional de
sobre uma superfície que tem
como fronteira.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o rotacional do campo vetorial
, que é dado por:
Substituindo os componentes de
:
Passo 3
Agora, vamos definir a superfície
sobre a qual vamos integrar. Como
é a fronteira do plano
no primeiro octante, podemos parametrizar
usando
e
como variáveis. Resolvendo a equação do plano para
:
Os limites para
e
são
,
e
, o que nos dá um triângulo no primeiro octante com vértices em
,
e
.
Passo 4
Precisamos determinar o vetor normal
à superfície
. A equação do plano é
, então o vetor normal é
. Como a curva
está orientada no sentido horário visto de cima, o vetor normal deve apontar para baixo para corresponder à orientação. Portanto, usaremos
.
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral de superfície usando o rotacional de
e o vetor normal:
Calculando o produto escalar:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos mudar para coordenadas
e
. A área
pode ser escrita em termos de
e
. Lembrando que
, mas para a integral de superfície, já que estamos integrando em
e
, usamos:
Os limites são:
Então, a integral dupla fica:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna com relação a
:
Expandindo:
Passo 8
Agora, integramos isso em relação a
:
Calculando nos limites:
Resposta
A integral
vale 162.
Exercícios relacionados
Seja
uma superfície orientada com vetor normal unitário
. Considere um fluido com densidade
e campo de velocidade
escoando através de
. Então a vazão (em unidade de massa por unidade de tempo) do fluido através de
é dada por
A água do mar tem densidade
e escoa em um campo de velocidade
, onde
e
são medidos em metros e as componentes de
em metros por segundo. Encontre a vazão para fora do hemisfério
.
Calcule a integral de superfície
, em que
e
é a superfície dada por
e
.
Seja
um sólido simples do
. Utilize o Teorema do Divergente para determinar uma fórmula que nos permita calcular o volume de
através de uma integral de superfície.
Calcule a integral de superfície
, em que
, e
é a superfície fronteira do cilindro
, com normal apontando para fora do cilindro.