Seja S uma superfície orientada com vetor normal unitário n. Considere um fluido com densidade rho(x, y, z) e campo de velocidade v(x, y, z) escoando através de S. Então a vazão (em unidade de massa por unidade de tempo) do fluido através de S é dada por
integral duplaS rho v d S
A água do mar tem densidade 1025 kg / m^3 e escoa em um campo de velocidade v(x, y, z)=y i+x j, onde x, y e z são medidos em metros e as componentes de v em metros por segundo. Encontre a vazão para fora do hemisfério x^2+y^2+z^2=9, z >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a vazão (quantidade de massa que passa) da água do mar através de um hemisfério específico. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de fluxo. Precisamos conhecer a densidade da água, o campo de velocidade do fluido e a forma da superfície pela qual o fluido está passando. Vamos dar uma olhada nos dados que temos:
  • Densidade da água do mar: 1025 kg/m³
  • Campo de velocidade: (em m/s)
  • Superfície: Hemisfério definido por com
Vamos calcular a vazão usando a integral de superfície , onde é o vetor normal à superfície.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é fluxo. O fluxo mede quanta “coisa” está passando por uma superfície. No nosso caso, é a quantidade de massa de água do mar passando pelo hemisfério por segundo. A fórmula que vamos usar é:
Fluxo = integral duplaS rho v cdot n , dS
Aqui, é a densidade, é o campo de velocidade e é o vetor normal à superfície .

Passo 3

Vamos identificar cada parte da fórmula:
  • n = r|r| = x i + y j + z k3 : Essa é a densidade da água do mar.
  • : Este é o campo de velocidade, indicando como a água está se movendo em cada ponto.
  • : O vetor normal à superfície. Para uma esfera de raio 3, o vetor normal pode ser encontrado dividindo o vetor posição pelo raio:

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar v cdot n = (y i + x j) cdot (x i + y j + z k3) = xy + xy + 03 = 2xy3 :
Aqui, o termo não contribui porque a velocidade não tem componente na direção .

Passo 5

Substituímos Fluxo = integral duplaS 1025 cdot 2xy3 , dS = 20503 integral duplaS xy , dS na fórmula do fluxo:
Agora, precisamos calcular a integral de sobre a superfície do hemisfério.

Passo 6

Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas:
x = r sintheta cosphi
y = r sintheta sinphi
z = r costheta
No nosso caso, dS = r^2 sintheta , dtheta , dphi (raio do hemisfério) e varia de 0 a (já que ), varia de 0 a .
A área diferencial em coordenadas esféricas é:

Passo 7

Expressamos xy = (3 sintheta cosphi)(3 sintheta sinphi) = 9 sin^2theta cosphi sinphi em coordenadas esféricas:
Fluxo = 20503 times 9 integral0^2pi integral0^pi/2 sin^2theta cosphi sinphi cdot 9 sintheta , dtheta , dphi
Substituímos na integral:

Passo 8

Simplificamos os termos constantes:
Fluxo = 20503 times 9 times 9 integral0^2pi integral0^pi/2 sin^3theta cosphi sinphi , dtheta , dphi
Fluxo = 2050 times 27 integral0^2pi integral0^pi/2 sin^3theta cosphi sinphi , dtheta , dphi

Passo 9

Observamos que a integral pode ser separada:
integral0^2pi cosphi sinphi , dphi times integral0^pi/2 sin^3theta , dtheta
Calculamos cada uma:
Primeira integral:
integral0^2pi cosphi sinphi , dphi = 12 integral0^2pi sin(2phi) , dphi = 0
Já que a função é periódica e simétrica, a integral sobre um período completo é zero.

Passo 10

Como uma das integrais é zero, todo o fluxo será zero:
Fluxo = 2050 times 27 times 0 = 0 , kg/s

Resposta

A vazão da água do mar para fora do hemisfério é zero kg/s.

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