Seja
uma superfície orientada com vetor normal unitário
. Considere um fluido com densidade
e campo de velocidade
escoando através de
. Então a vazão (em unidade de massa por unidade de tempo) do fluido através de
é dada por
A água do mar tem densidade
e escoa em um campo de velocidade
, onde
e
são medidos em metros e as componentes de
em metros por segundo. Encontre a vazão para fora do hemisfério
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a vazão (quantidade de massa que passa) da água do mar através de um hemisfério específico. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de fluxo. Precisamos conhecer a densidade da água, o campo de velocidade do fluido e a forma da superfície pela qual o fluido está passando. Vamos dar uma olhada nos dados que temos:
- Densidade da água do mar: 1025 kg/m³
- Campo de velocidade:
(em m/s) - Superfície: Hemisfério definido por
com
Vamos calcular a vazão usando a integral de superfície
, onde
é o vetor normal à superfície.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é fluxo. O fluxo mede quanta “coisa” está passando por uma superfície. No nosso caso, é a quantidade de massa de água do mar passando pelo hemisfério por segundo. A fórmula que vamos usar é:
Aqui,
é a densidade,
é o campo de velocidade e
é o vetor normal à superfície
.
Passo 3
Vamos identificar cada parte da fórmula:
-
: Essa é a densidade da água do mar. -
: Este é o campo de velocidade, indicando como a água está se movendo em cada ponto. -
: O vetor normal à superfície. Para uma esfera de raio 3, o vetor normal pode ser encontrado dividindo o vetor posição pelo raio:
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Aqui, o termo
não contribui porque a velocidade não tem componente na direção
.
Passo 5
Substituímos
na fórmula do fluxo:
Agora, precisamos calcular a integral de
sobre a superfície do hemisfério.
Passo 6
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas:
No nosso caso,
(raio do hemisfério) e
varia de 0 a
(já que
),
varia de 0 a
.
A área diferencial em coordenadas esféricas é:
Passo 7
Expressamos
em coordenadas esféricas:
Substituímos na integral:
Passo 8
Simplificamos os termos constantes:
Passo 9
Observamos que a integral pode ser separada:
Calculamos cada uma:
Primeira integral:
Já que a função
é periódica e simétrica, a integral sobre um período completo é zero.
Passo 10
Como uma das integrais é zero, todo o fluxo será zero:
Resposta
A vazão da água do mar para fora do hemisfério é zero kg/s.
Exercícios relacionados
Calcule a integral de superfície
, em que
e
é a superfície dada por
e
.
Sejam
, e
a superfície fronteira do sólido
, com normal apontando para fora do sólido E. Calcule a integral de superfície
.
Use o Teorema de Stokes para calcular
, em que
, e
é a curva fronteira da parte do plano
no primeiro octante, orientada no sentido horário quando vista de cima. (Atenção: Verifique a orientação da curva antes de aplicar o Teorema).
Seja
um sólido simples do
. Utilize o Teorema do Divergente para determinar uma fórmula que nos permita calcular o volume de
através de uma integral de superfície.