Calcule a integral de superfície
, sendo dados:
e
a parte do gráfico de
sobre a região
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de superfície. O enunciado pede para calcular
, onde
. A superfície
é a parte do gráfico da função
sobre a região onde
e
. Vamos precisar usar conceitos de cálculo de integrais de superfície e entender como parametrizar a superfície para calcular o elemento de área
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular uma integral de superfície. Se temos uma função
e uma superfície
definida por
, a integral de superfície pode ser escrita como:
Aqui,
é a região no plano
sobre a qual a superfície está projetada.
Passo 3
No nosso caso, a superfície
é dada por
. Vamos identificar a função
e calcular as derivadas parciais necessárias. Aqui,
.
Calculando as derivadas parciais:
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do elemento de área:
Passo 4
Agora, vamos substituir tudo na integral de superfície. Sabendo que
e
, temos:
A região
está definida por
e
.
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral dupla:
Primeiro, integramos em relação a
:
Substituindo de volta na integral:
Passo 6
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Seja
, então
, ou seja,
. Substituindo:
Integrando:
Voltando para
:
Passo 7
Aplicando os limites de
de 0 a 1:
Calculando:
Substituindo:
Resposta
A integral de superfície é igual a
.