Calcule a integral de superfície integral duplaS g(x, y, z) d S, sendo dados:
g(x, y, z)=y e S a parte do gráfico de z=1-x^2 sobre a região 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= raizx.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de superfície. O enunciado pede para calcular integral duplaS g(x, y, z) , dS, onde g(x, y, z) = y. A superfície S é a parte do gráfico da função z = 1 - x^2 sobre a região onde 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= raizx. Vamos precisar usar conceitos de cálculo de integrais de superfície e entender como parametrizar a superfície para calcular o elemento de área dS.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular uma integral de superfície. Se temos uma função g(x, y, z) e uma superfície S definida por z = f(x, y), a integral de superfície pode ser escrita como:
integral duplaS g(x, y, z) , dS = integral duplaD g(x, y, f(x, y)) raiz1 + (partial fpartial x)^2 + (partial fpartial y)^2 , dx , dy
Aqui, D é a região no plano (x, y) sobre a qual a superfície está projetada.

Passo 3

No nosso caso, a superfície S é dada por z = 1 - x^2. Vamos identificar a função f(x, y) e calcular as derivadas parciais necessárias. Aqui, f(x, y) = 1 - x^2.
Calculando as derivadas parciais:
partial fpartial x = -2x
partial fpartial y = 0
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do elemento de área:
raiz1 + (-2x)^2 + 0^2 = raiz1 + 4x^2

Passo 4

Agora, vamos substituir tudo na integral de superfície. Sabendo que g(x, y, z) = y e z = 1 - x^2, temos:
integral duplaS y , dS = integral duplaD y raiz1 + 4x^2 , dx , dy
A região D está definida por 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= raizx.

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral dupla:
integral0^1 integral0^raizx y raiz1 + 4x^2 , dy , dx
Primeiro, integramos em relação a y:
integral0^raizx y , dy = [ y^22 ]0^raizx = (raizx)^22 = x2
Substituindo de volta na integral:
integral0^1 x2 raiz1 + 4x^2 , dx

Passo 6

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Seja u = 1 + 4x^2, então dudx = 8x, ou seja, dx = du8x. Substituindo:
integral x2 raizu cdot du8x = 116 integral raizu , du
Integrando:
116 cdot 23 u^3/2 = 124 u^3/2
Voltando para x:
124 (1 + 4x^2)^3/2

Passo 7

Aplicando os limites de x de 0 a 1:
124 [ (1 + 4(1)^2)^3/2 - (1 + 4(0)^2)^3/2 ] = 124 [ (5)^3/2 - (1)^3/2 ]
Calculando:
5^3/2 = raiz5^3 = raiz125 = 5raiz5
1^3/2 = 1
Substituindo:
124 (5raiz5 - 1)

Resposta

A integral de superfície é igual a 5raiz5 - 124.

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