use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial em [0,+infinito) y'' + 4y' + 4y = e^(-t), y(0) = 0, y'(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A equação que temos é:
com as condições iniciais e .
Vamos precisar conhecer a Transformada de Laplace das derivadas e como aplicá-la para resolver equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em cada termo da equação. Lembrando que:
Aqui, é a Transformada de Laplace de .

Passo 3

Aplicando a Transformada de Laplace na equação:
Substituindo pelas fórmulas das transformadas:

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores das condições iniciais e :
Simplificando:

Passo 5

Vamos agrupar os termos com :
Agora, isolamos :

Passo 6

Vamos simplificar o numerador:
Então:

Passo 7

Note que é um quadrado perfeito:
Então, a expressão fica:

Passo 8

Agora, vamos decompor em frações parciais. Queremos escrever como:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 9

Para encontrar os valores de , e , escolhemos valores específicos de que simplificam a equação.
Primeiro, coloque :
Agora, coloque :

Passo 10

Com e , voltamos à equação original:
Expandindo e simplificando:
Igualando os coeficientes dos termos:
Para :

Passo 11

Agora, temos os valores:
Então, a decomposição em frações parciais é:

Passo 12

Finalmente, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace para encontrar :
Sabendo que :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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