use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial em
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A equação que temos é:
com as condições iniciais
e
.
Vamos precisar conhecer a Transformada de Laplace das derivadas e como aplicá-la para resolver equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em cada termo da equação. Lembrando que:
Aqui,
é a Transformada de Laplace de
.
Passo 3
Aplicando a Transformada de Laplace na equação:
Substituindo pelas fórmulas das transformadas:
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores das condições iniciais
e
:
Simplificando:
Passo 5
Vamos agrupar os termos com
:
Agora, isolamos
:
Passo 6
Vamos simplificar o numerador:
Então:
Passo 7
Note que
é um quadrado perfeito:
Então, a expressão fica:
Passo 8
Agora, vamos decompor em frações parciais. Queremos escrever
como:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 9
Para encontrar os valores de
,
e
, escolhemos valores específicos de
que simplificam a equação.
Primeiro, coloque
:
Agora, coloque
:
Passo 10
Com
e
, voltamos à equação original:
Expandindo e simplificando:
Igualando os coeficientes dos termos:
Para
:
Passo 11
Agora, temos os valores:
Então, a decomposição em frações parciais é:
Passo 12
Finalmente, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace para encontrar
:
Sabendo que
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: