Calcule a integral de superfície integral duplaS g(x, y, z) d S, sendo dados:
g(x, y, z)=x^2 e S o hemisfério superior de x^2+y^2+z^2=a^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! O enunciado pede para calcular a integral integral duplaS g(x, y, z) , dS, onde g(x, y, z) = x^2 e S é o hemisfério superior da esfera x^2+y^2+z^2=a^2. Vamos usar conhecimentos de cálculo multivariável, especificamente integração em coordenadas esféricas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é a integral de superfície. Ela basicamente soma os valores da função g(x, y, z) em cada ponto da superfície S. Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas esféricas, onde qualquer ponto na esfera pode ser descrito por (rho, theta, phi). Como estamos lidando com uma esfera de raio a, temos rho = a.

Passo 3

Em coordenadas esféricas, as coordenadas cartesianas (x, y, z) são relacionadas por:
x = rho sintheta cosphi
y = rho sintheta sinphi
z = rho costheta
Como rho = a, podemos substituir na função g(x, y, z):
g(x, y, z) = x^2 = (a sintheta cosphi)^2 = a^2 sin^2theta cos^2phi

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o elemento de área dS na esfera. Em coordenadas esféricas, o elemento de área é dado por:
dS = a^2 sintheta , dtheta , dphi
Isso vem da geometria da esfera e como pequenas variações em theta e phi afetam a área.

Passo 5

Vamos montar a integral de superfície substituindo g(x, y, z) e dS:
integral duplaS x^2 , dS = integral0^2pi integral0^pi/2 a^2 sin^2theta cos^2phi cdot a^2 sintheta , dtheta , dphi
Note que limitamos theta de 0 a pi/2 porque estamos somente no hemisfério superior.

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
= a^4 integral0^2pi integral0^pi/2 sin^3theta cos^2phi , dtheta , dphi
Podemos separar as integrais porque são independentes:
= a^4 ( integral0^pi/2 sin^3theta , dtheta ) ( integral0^2pi cos^2phi , dphi )

Passo 7

Vamos resolver cada integral separadamente. Primeiro, a integral em theta:
integral0^pi/2 sin^3theta , dtheta
Sabemos que:
integral sin^ntheta , dtheta = n-1n integral sin^n-2theta , dtheta
Aplicando para n=3:
= 23
Agora, a integral em phi:
integral0^2pi cos^2phi , dphi
Sabemos que:
integral cos^2phi , dphi = pi
Então, temos:
= pi

Passo 8

Agora, substituímos os resultados das integrais de volta na expressão:
integral duplaS x^2 , dS = a^4 cdot 23 cdot pi = 23 pi a^4

Resposta

A integral de superfície é igual a 23 pi a^4.

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