Calcule a integral de superfície
, sendo dados:
e
o hemisfério superior de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! O enunciado pede para calcular a integral
, onde
e
é o hemisfério superior da esfera
. Vamos usar conhecimentos de cálculo multivariável, especificamente integração em coordenadas esféricas, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é a integral de superfície. Ela basicamente soma os valores da função
em cada ponto da superfície
. Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas esféricas, onde qualquer ponto na esfera pode ser descrito por
. Como estamos lidando com uma esfera de raio
, temos
.
Passo 3
Em coordenadas esféricas, as coordenadas cartesianas
são relacionadas por:
Como
, podemos substituir na função
:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o elemento de área
na esfera. Em coordenadas esféricas, o elemento de área é dado por:
Isso vem da geometria da esfera e como pequenas variações em
e
afetam a área.
Passo 5
Vamos montar a integral de superfície substituindo
e
:
Note que limitamos
de
a
porque estamos somente no hemisfério superior.
Passo 6
Vamos simplificar a expressão:
Podemos separar as integrais porque são independentes:
Passo 7
Vamos resolver cada integral separadamente. Primeiro, a integral em
:
Sabemos que:
Aplicando para
:
Agora, a integral em
:
Sabemos que:
Então, temos:
Passo 8
Agora, substituímos os resultados das integrais de volta na expressão:
Resposta
A integral de superfície é igual a
.