Calcule a integral de superfície
, sendo dados:
e
a parte do gráfico de
sobre a região
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a integral de superfície
, onde
. A superfície
é parte do gráfico da função
, e a gente vai considerar a região onde
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular integrais de superfície, que basicamente envolvem integrar uma função sobre uma superfície no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície
. Ela é definida pela equação
. Isso significa que para cada ponto
na região dada, o
correspondente é
. A região em que vamos integrar é limitada por
e
. Então, estamos olhando para uma parte específica desse gráfico.
Passo 3
Agora, para calcular a integral de superfície, precisamos expressar a diferencial de área
em termos de
e
. A fórmula para
quando a superfície é dada por
é:
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
Então,
Passo 4
Agora, substituímos
e
na integral de superfície:
Aqui,
é a região no plano
dada por
e
.
Passo 5
Vamos integrar primeiro em relação a
. Como a função a ser integrada não depende de
, a integral em
será simplesmente a largura da região em
, que vai de
a
. Então:
Portanto, a integral vira:
Passo 6
Agora, vamos simplificar a integral:
Essa integral pode ser resolvida por substituição. Vamos fazer a substituição:
Também precisamos ajustar os limites de integração para
:
Quando
:
Quando
:
Passo 7
Substituindo na integral:
Mas precisamos expressar
em termos de
. Da substituição anterior:
Então,
Agora, a integral fica:
Passo 8
Vamos separar a integral:
Simplificando:
Agora, calculamos cada integral separadamente:
Passo 9
Aplicando os limites de integração:
Calculando cada parte:
Para
:
Para
:
Passo 10
Juntando tudo:
Simplificando:
Resposta
A integral de superfície vale
.