Calcule a integral de superfície integral duplaS g(x, y, z) d S, sendo dados:
g(x, y, z)=x e S a parte do gráfico de z=x^2+y sobre a região 0 <= x <= 1 e x^2 <= y <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a integral de superfície integral duplaS g(x, y, z) , dS, onde g(x, y, z) = x. A superfície S é parte do gráfico da função z = x^2 + y, e a gente vai considerar a região onde 0 <= x <= 1 e x^2 <= y <= 1. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular integrais de superfície, que basicamente envolvem integrar uma função sobre uma superfície no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície S. Ela é definida pela equação z = x^2 + y. Isso significa que para cada ponto (x, y) na região dada, o z correspondente é x^2 + y. A região em que vamos integrar é limitada por 0 <= x <= 1 e x^2 <= y <= 1. Então, estamos olhando para uma parte específica desse gráfico.

Passo 3

Agora, para calcular a integral de superfície, precisamos expressar a diferencial de área dS em termos de dx e dy. A fórmula para dS quando a superfície é dada por z = f(x, y) é:
dS = raiz(partial zpartial x)^2 + (partial zpartial y)^2 + 1 , dx , dy
Vamos calcular as derivadas parciais de z:
partial zpartial x = 2x partial zpartial y = 1
Então,
dS = raiz(2x)^2 + (1)^2 + 1 , dx , dy = raiz4x^2 + 1 + 1 , dx , dy = raiz4x^2 + 2 , dx , dy

Passo 4

Agora, substituímos g(x, y, z) = x e dS na integral de superfície:
integral duplaS x , dS = integral duplaD x raiz4x^2 + 2 , dx , dy
Aqui, D é a região no plano xy dada por 0 <= x <= 1 e x^2 <= y <= 1.

Passo 5

Vamos integrar primeiro em relação a y. Como a função a ser integrada não depende de y, a integral em y será simplesmente a largura da região em y, que vai de x^2 a 1. Então:
integralx^2^1 dy = 1 - x^2
Portanto, a integral vira:
integral0^1 x raiz4x^2 + 2 (1 - x^2) , dx

Passo 6

Agora, vamos simplificar a integral:
integral0^1 x (1 - x^2) raiz4x^2 + 2 , dx
Essa integral pode ser resolvida por substituição. Vamos fazer a substituição:
u = 4x^2 + 2 dudx = 8x du8 = x , dx
Também precisamos ajustar os limites de integração para u:
Quando x = 0:
u = 4(0)^2 + 2 = 2
Quando x = 1:
u = 4(1)^2 + 2 = 6

Passo 7

Substituindo na integral:
integralu=2^u=6 1 - x^28 raizu , du
Mas precisamos expressar x^2 em termos de u. Da substituição anterior:
u = 4x^2 + 2 4x^2 = u - 2 x^2 = u - 24
Então, 1 - x^2 = 1 - u - 24 = 4 - (u - 2)4 = 6 - u4
Agora, a integral fica:
integral2^6 6 - u4 cdot 8 raizu , du = 132 integral2^6 (6 - u) raizu , du

Passo 8

Vamos separar a integral:
132 [ 6 integral2^6 raizu , du - integral2^6 u raizu , du ]
Simplificando:
132 [ 6 integral2^6 u^1/2 , du - integral2^6 u^3/2 , du ]
Agora, calculamos cada integral separadamente:
integral u^1/2 , du = 23 u^3/2 + C integral u^3/2 , du = 25 u^5/2 + C

Passo 9

Aplicando os limites de integração:
6 [ 23 u^3/2 ]2^6 - [ 25 u^5/2 ]2^6
Calculando cada parte:
Para 6 cdot 23 u^3/2:
6 cdot 23 = 4 4 ( 6^3/2 - 2^3/2 ) = 4 ( 6 raiz6 - 2 raiz2 )
Para -25 u^5/2:
- 25 ( 6^5/2 - 2^5/2 ) = - 25 ( 6^2 raiz6 - 4 raiz2 ) = - 25 ( 36 raiz6 - 4 raiz2 )

Passo 10

Juntando tudo:
132 [ 4 (6 raiz6 - 2 raiz2) - 25 (36 raiz6 - 4 raiz2) ]
Simplificando:
132 [ 24 raiz6 - 8 raiz2 - 725 raiz6 + 85 raiz2 ] = 132 [ (24 - 725) raiz6 + (-8 + 85) raiz2 ] = 132 [ 120 - 725 raiz6 + -40 + 85 raiz2 ] = 132 [ 485 raiz6 - 325 raiz2 ] = 48 raiz6 - 32 raiz2160 = 12 raiz6 - 8 raiz240 = 3 raiz6 - 2 raiz210

Resposta

A integral de superfície vale dfrac3,raiz6 - 2,raiz210.

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