use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial em [0,+infinito) y'' - 2y' + 5y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema usando a Transformada de Laplace. O que temos aqui é uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. Precisamos encontrar a função que satisfaz a equação com e .

Passo 2

Primeiro, lembrando da Transformada de Laplace, ela transforma uma equação diferencial no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução. Vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial.

Passo 3

Aplicando a Transformada de Laplace na equação :

Passo 4

Sabemos que:
Substituindo as condições iniciais e :

Passo 5

Simplificando a equação:

Passo 6

Isolando :

Passo 7

Agora, vamos simplificar o denominador completando o quadrado:
Então:

Passo 8

Essa expressão é a Transformada de Laplace de uma função exponencial multiplicada por seno. Sabemos que:
Comparando com , temos e .

Passo 9

Portanto, aplicando a Transformada de Laplace inversa:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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