use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema usando a Transformada de Laplace. O que temos aqui é uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. Precisamos encontrar a função
que satisfaz a equação
com
e
.
Passo 2
Primeiro, lembrando da Transformada de Laplace, ela transforma uma equação diferencial no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução. Vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial.
Passo 3
Aplicando a Transformada de Laplace na equação
:
Passo 4
Sabemos que:
Substituindo as condições iniciais
e
:
Passo 5
Simplificando a equação:
Passo 6
Isolando
:
Passo 7
Agora, vamos simplificar o denominador completando o quadrado:
Então:
Passo 8
Essa expressão é a Transformada de Laplace de uma função exponencial multiplicada por seno. Sabemos que:
Comparando com
, temos
e
.
Passo 9
Portanto, aplicando a Transformada de Laplace inversa:
Resposta
A solução da equação diferencial é: