Calcule a integral de superfície
, onde
é o cubo com vértices
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície
, onde
é o cubo com vértices em
. Isso envolve o cálculo de uma integral de superfície no contexto de cálculo vetorial. Para resolver, vamos precisar usar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de superfície com uma integral de volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o Teorema da Divergência. Esse teorema nos diz que a integral de superfície de um campo vetorial
sobre uma superfície fechada
é igual à integral de volume do divergente de
dentro do volume
delimitado por
. Matematicamente, fica assim:
Passo 3
Vamos identificar nosso campo vetorial
. No caso,
. Agora, precisamos calcular o divergente de
, que é dado por:
Calculando cada derivada:
Então,
Passo 4
Agora, aplicando o Teorema da Divergência, a integral de superfície se transforma em uma integral de volume:
Passo 5
Precisamos calcular o volume
do cubo com vértices em
. Esse cubo tem arestas de comprimento 2 (de -1 a 1) em cada dimensão. Então, o volume é:
Passo 6
Agora, calculamos a integral de volume:
Resposta
48
Exercícios relacionados
Calcule a integral de superfície
de cada uma das funcções reais
ao longo da superfície
(de parametrização
) dadas.
Determine uma equação paramétrica para cada uma das superfícies dadas.
O elipsóide ,
Resp.:
O elipsóide
Resp.:
Encontre a solução geral da equação:
Considere a equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes
. Mostre que:
Se e
, todas as soluções são limitadas quando
.
Se