Calcule a integral de superfície
integral duplaS(x, 2 y, 3 z) d S, onde S é o cubo com vértices ( pm 1, pm 1, pm 1), Resp : 48

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície , onde é o cubo com vértices em . Isso envolve o cálculo de uma integral de superfície no contexto de cálculo vetorial. Para resolver, vamos precisar usar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de superfície com uma integral de volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o Teorema da Divergência. Esse teorema nos diz que a integral de superfície de um campo vetorial integral duplaS F cdot dS = integral triplaV (nabla cdot F) , dV sobre uma superfície fechada é igual à integral de volume do divergente de dentro do volume delimitado por . Matematicamente, fica assim:

Passo 3

Vamos identificar nosso campo vetorial nabla cdot F = partialpartial x(x) + partialpartial y(2y) + partialpartial z(3z) . No caso, partialpartial x(x) = 1, partialpartial y(2y) = 2, partialpartial z(3z) = 3 . Agora, precisamos calcular o divergente de nabla cdot F = 1 + 2 + 3 = 6 , que é dado por:
Calculando cada derivada:
Então,

Passo 4

Agora, aplicando o Teorema da Divergência, a integral de superfície se transforma em uma integral de volume:
integral duplaS F cdot dS = integral triplaV 6 , dV

Passo 5

Precisamos calcular o volume V = 2 times 2 times 2 = 8 do cubo com vértices em . Esse cubo tem arestas de comprimento 2 (de -1 a 1) em cada dimensão. Então, o volume é:

Passo 6

Agora, calculamos a integral de volume:
integral triplaV 6 , dV = 6 times V = 6 times 8 = 48

Resposta

48

Exercícios relacionados

Calcule a integral de superfície integralS integral f d S de cada uma das funcções reais f: R^3 R ao longo da superfície S (de parametrização r(u, v) ) dadas.
f(x, y, z)=x^2, r(u, v)=(cos u, sen u, v),(u, v) in[0,2 pi] times[0, pi]
Determine uma equação paramétrica para cada uma das superfícies dadas.
O elipsóide 2 x^2 + 3 y^2 + 6 z^2 = 6,
Resp.: r(u, v) = (raiz(3) * cos(u) * cos(v), raiz(3) * cos(u) * sen(v), raiz(2) * sen(u)), (u, v) em [-pi/2, pi/2] x [0, 2pi]
Encontre a solução geral da equação:
4 y'' + 4 y' + y = 0
Considere a equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes y''(x) + a y'(x) + b y(x) = 0. Mostre que:
Se a = 0 e b > 0, todas as soluções são limitadas quando x -> infinito.