Calcule a integral de superfície
integral duplaS(x, 2 y, 3 z) d S, onde S é o cubo com vértices ( pm 1, pm 1, pm 1), Resp : 48

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície , onde é o cubo com vértices em . Isso envolve o cálculo de uma integral de superfície no contexto de cálculo vetorial. Para resolver, vamos precisar usar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de superfície com uma integral de volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o Teorema da Divergência. Esse teorema nos diz que a integral de superfície de um campo vetorial integral duplaS F cdot dS = integral triplaV (nabla cdot F) , dV sobre uma superfície fechada é igual à integral de volume do divergente de dentro do volume delimitado por . Matematicamente, fica assim:

Passo 3

Vamos identificar nosso campo vetorial nabla cdot F = partialpartial x(x) + partialpartial y(2y) + partialpartial z(3z) . No caso, partialpartial x(x) = 1, partialpartial y(2y) = 2, partialpartial z(3z) = 3 . Agora, precisamos calcular o divergente de nabla cdot F = 1 + 2 + 3 = 6 , que é dado por:
Calculando cada derivada:
Então,

Passo 4

Agora, aplicando o Teorema da Divergência, a integral de superfície se transforma em uma integral de volume:
integral duplaS F cdot dS = integral triplaV 6 , dV

Passo 5

Precisamos calcular o volume V = 2 times 2 times 2 = 8 do cubo com vértices em . Esse cubo tem arestas de comprimento 2 (de -1 a 1) em cada dimensão. Então, o volume é:

Passo 6

Agora, calculamos a integral de volume:
integral triplaV 6 , dV = 6 times V = 6 times 8 = 48

Resposta

48

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