Considere a equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes
. Mostre que:
Se
e
, todas as soluções são limitadas quando
.
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes:
. Nosso objetivo é mostrar que, se
e
, todas as soluções dessa equação são limitadas quando
vai para o infinito. Vamos usar conceitos de equações diferenciais e funções trigonométricas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, como
, a equação fica mais simples:
. Isso significa que a derivada segunda de
menos
vezes
é igual a zero. Vamos resolver essa equação para encontrar a forma geral das soluções.
Passo 3
Para resolver essa equação diferencial, a gente usa o método das equações características. A gente assume que a solução tem a forma
, onde
é um número que a gente precisa descobrir. Substituindo isso na equação, temos:
Dividindo por
(que nunca é zero), sobra:
Passo 4
Agora, resolvemos a equação característica
. Isolando
:
Como
, tiramos a raiz quadrada dos dois lados:
Aqui,
é a unidade imaginária, indicando que as raízes são complexas.
Passo 5
Com as raízes complexas
, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde
e
são constantes que dependem das condições iniciais.
Passo 6
Agora, observamos as funções trigonométricas
e
. Sabemos que tanto o cosseno quanto o seno oscilam entre -1 e 1 para qualquer valor de
. Isso significa que, independentemente dos valores de
e
, a combinação linear dessas funções também será limitada, ou seja, não cresce para mais nem para menos à medida que
aumenta.
Resposta
Portanto, quando
e
, todas as soluções da equação
são funções limitadas à medida que
tende ao infinito.
Exercícios relacionados
Encontre a solução geral da equação:
Calcule a integral de superfície
, onde
é o cubo com vértices
48
Considere a equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes
. Mostre que:
Se e
são constantes positivas, todas as soluções da equação se aproximam de zero quando
.
Se
Determine uma equação paramétrica para cada uma das superfícies dadas.
O parabolóide Resp.:
,
O parabolóide