Considere a equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes y''(x) + a y'(x) + b y(x) = 0. Mostre que:
Se a = 0 e b > 0, todas as soluções são limitadas quando x -> infinito.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes: . Nosso objetivo é mostrar que, se e , todas as soluções dessa equação são limitadas quando vai para o infinito. Vamos usar conceitos de equações diferenciais e funções trigonométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, como , a equação fica mais simples: . Isso significa que a derivada segunda de menos vezes é igual a zero. Vamos resolver essa equação para encontrar a forma geral das soluções.

Passo 3

Para resolver essa equação diferencial, a gente usa o método das equações características. A gente assume que a solução tem a forma , onde é um número que a gente precisa descobrir. Substituindo isso na equação, temos:
Dividindo por (que nunca é zero), sobra:

Passo 4

Agora, resolvemos a equação característica . Isolando :
Como , tiramos a raiz quadrada dos dois lados:
Aqui, é a unidade imaginária, indicando que as raízes são complexas.

Passo 5

Com as raízes complexas , a solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde e são constantes que dependem das condições iniciais.

Passo 6

Agora, observamos as funções trigonométricas e . Sabemos que tanto o cosseno quanto o seno oscilam entre -1 e 1 para qualquer valor de . Isso significa que, independentemente dos valores de e , a combinação linear dessas funções também será limitada, ou seja, não cresce para mais nem para menos à medida que aumenta.

Resposta

Portanto, quando e , todas as soluções da equação são funções limitadas à medida que tende ao infinito.

Exercícios relacionados

Encontre a solução geral da equação:
4 y'' + 4 y' + y = 0
Calcule a integral de superfície
integral duplaS(x, 2 y, 3 z) d S, onde S é o cubo com vértices ( pm 1, pm 1, pm 1), Resp : 48
Considere a equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes y''(x) + a y'(x) + b y(x) = 0. Mostre que:
Se a e b são constantes positivas, todas as soluções da equação se aproximam de zero quando x -> infinito.
Determine uma equação paramétrica para cada uma das superfícies dadas.
O parabolóide z + x^2 + y^2 = 16 Resp.: r(u, v) = (u cos v, u sen v, -u^2 + 16), (u, v) in [0, infinito] x [0, 2 pi]