Encontre a solução geral da equação:
4 y'' + 4 y' + y = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . Essa questão está no conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método das equações características, que nos ajuda a encontrar as soluções gerais para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para identificar os coeficientes:
Aqui, é a segunda derivada de em relação a , é a primeira derivada, e é a função original.

Passo 3

O próximo passo é montar a equação característica associada à equação diferencial. Para isso, substituímos por , por e por 1. Assim, a equação característica fica:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Então:

Passo 5

Vendo que temos uma raiz real dupla ( ), a solução geral da equação diferencial será:
Onde e são constantes que podem ser determinadas por condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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