Calcule a integral de superfície integralS integral f d S de cada uma das funcções reais f: R^3 R ao longo da superfície S (de parametrização r(u, v) ) dadas.
f(x, y, z)=x^2, r(u, v)=(cos u, sen u, v),(u, v) in[0,2 pi] times[0, pi]

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você precisa calcular a integral de superfície para a função ao longo da superfície que é parametrizada por , onde e . Estamos estudando Cálculo Multivariável, especificamente Integrais de Superfície. Para resolver isso, vamos precisar da parametrização da superfície, da função a ser integrada e da fórmula para a integral de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula para a integral de superfície de uma função integral duplaS f , dS = integral duplaD f(r(u, v)) , | ru times rv | , du , dv sobre uma superfície parametrizada :
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente, e é o produto vetorial dessas derivadas.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais r(u, v) = (cos u, sen u, v) e ru = ( -sen u, cos u, 0 ) :
Derivando em relação a rv = ( 0, 0, 1 ) :
Derivando em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial ru times rv = i & j & k -sen u & cos u & 0 0 & 0 & 1 = (cos u cdot 1 - 0 cdot 0) i - (-sen u cdot 1 - 0 cdot 0) j + (-sen u cdot 0 - cos u cdot 0) k :
A magnitude desse vetor é:

Passo 5

Com a magnitude do produto vetorial sendo 1, a fórmula da integral de superfície simplifica para:
integral duplaS f , dS = integral duplaD f(r(u, v)) cdot 1 , du , dv = integral duplaD f(r(u, v)) , du , dv
Substituindo f(r(u, v)) = (cos u)^2 pela parametrização :

Passo 6

Agora, a integral fica:
integral duplaS f , dS = integral0^2pi integral0^pi (cos u)^2 , dv , du
Como a função integral0^pi dv = pi não depende de integral duplaS f , dS = pi integral0^2pi (cos u)^2 , du , podemos integrar em relação a diretamente:
Portanto:

Passo 7

Para resolver a integral cos^2 u = 1 + cos 2u2 , usamos a identidade trigonométrica:
integral0^2pi 1 + cos 2u2 , du = 12 integral0^2pi 1 , du + 12 integral0^2pi cos 2u , du
Substituindo na integral:
12 integral0^2pi 1 , du = 12 cdot 2pi = pi
Calculando cada parte:
12 integral0^2pi cos 2u , du = 12 cdot 0 = 0 (pois a integral de cos 2u de 0 a 2pi é zero)
integral0^2pi (cos u)^2 , du = pi é
Então:

Passo 8

Finalmente, substituindo de volta:
integral duplaS f , dS = pi cdot pi = pi^2

Resposta

O valor da integral de superfície é .

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