Calcule a integral de superfície
de cada uma das funcções reais
ao longo da superfície
(de parametrização
) dadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você precisa calcular a integral de superfície
para a função
ao longo da superfície
que é parametrizada por , onde
e
. Estamos estudando Cálculo Multivariável, especificamente Integrais de Superfície. Para resolver isso, vamos precisar da parametrização da superfície, da função a ser integrada e da fórmula para a integral de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula para a integral de superfície de uma função
sobre uma superfície parametrizada
:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente, e
é o produto vetorial dessas derivadas.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais
e
:
Derivando em relação a
:
Derivando em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto vetorial
:
A magnitude desse vetor é:
Passo 5
Com a magnitude do produto vetorial sendo 1, a fórmula da integral de superfície simplifica para:
Substituindo
pela parametrização
:
Passo 6
Agora, a integral fica:
Como a função
não depende de
, podemos integrar em relação a
diretamente:
Portanto:
Passo 7
Para resolver a integral
, usamos a identidade trigonométrica:
Substituindo na integral:
Calculando cada parte:
Então:
Passo 8
Finalmente, substituindo de volta:
Resposta
O valor da integral de superfície é
.
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Determine uma equação paramétrica para cada uma das superfícies dadas.
O elipsóide ,
Resp.:
O elipsóide
Resp.:
Determine uma equação paramétrica para cada uma das superfícies dadas.
A parte do cilindro que está entre os planos
e
, Resp.:
A parte do cilindro
Calcule a integral de superfície
, onde
é o cubo com vértices
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Encontre a solução geral da equação: