Determine uma equação paramétrica para cada uma das superfícies dadas.
O elipsóide ,
Resp.:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a tarefa de achar uma equação paramétrica para uma superfície específica chamada elipsóide, que é dada pela equação . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de geometria analítica e como transformar essa equação geral em uma forma parametrizada usando trigonometria.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação do elipsóide para deixá-la mais fácil de trabalhar. A equação que temos é:
Vamos dividir todos os termos por 6 para simplificar:
O que simplifica para:
Passo 3
Agora, para encontrar uma equação paramétrica, a gente vai usar coordenadas esféricas modificadas para elipsóides. A ideia é expressar , e em termos de dois ângulos, e , que vão variar dentro de certos intervalos.
A forma geral para um elipsóide é:
Onde , e são os semi-eixos do elipsóide.
Passo 4
Vamos identificar os valores de , e a partir da nossa equação simplificada:
Comparando com a forma geral, temos:
Passo 5
Com esses valores, podemos escrever as equações paramétricas:
Passo 6
Por fim, precisamos definir os intervalos para os parâmetros e . Geralmente, varia de a para cobrir todas as posições verticalmente, e varia de a para cobrir todas as posições ao redor do eixo.