Calcule a integral de superfície
, onde
é esfera
Resp.:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de superfície
, onde
é a esfera dada por
. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de superfície sobre superfícies esféricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a esfera e aplicar a fórmula adequada para integrais de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos reconhecer que a esfera
tem raio
. Em coordenadas esféricas, podemos parametrizar a esfera usando os ângulos
(ângulo polar) e
(ângulo azimutal). As coordenadas esféricas são dadas por:
onde
e
.
Passo 3
A integral de superfície de um vetor sobre uma superfície esférica pode ser calculada usando a seguinte fórmula:
onde
e
é o vetor normal à superfície. No caso de uma esfera, o vetor normal
é simplesmente o vetor posição dividido pelo raio, ou seja:
Passo 4
Substituindo
e
na fórmula da integral, temos:
Sabemos que para qualquer ponto na esfera,
.
Passo 5
Então, a integral simplifica para:
A integral
é a área da superfície da esfera, que é
.
Passo 6
Substituindo
, temos:
Resposta
O valor da integral de superfície é
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral de superfície
de cada uma das funcões vetoriais
:
ao longo da superfície
(de parametrização
) dadas.
Resolva a equação diferencial, usando o método dos coeficientes a determinar.
Determine uma equação paramétrica para cada uma das superfícies dadas.
A parte do plano que está dentro do cilindro
,
Resp.: .
A parte do plano
Resp.:
Resolva a equação diferencial, usando o método dos coeficientes a determinar.