Calcule a integral de superfície
integral duplaS(x, y, z) d S, onde S é esfera x^2+y^2+z^2=9, Resp.: 108 pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de superfície integral duplaS(x, y, z) , dS, onde S é a esfera dada por x^2+y^2+z^2=9. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de superfície sobre superfícies esféricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a esfera e aplicar a fórmula adequada para integrais de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que a esfera x^2+y^2+z^2=9 tem raio R = 3. Em coordenadas esféricas, podemos parametrizar a esfera usando os ângulos theta (ângulo polar) e phi (ângulo azimutal). As coordenadas esféricas são dadas por:
x = R sintheta cosphi, y = R sintheta sinphi, z = R costheta
onde 0 <= theta <= pi e 0 <= phi < 2pi.

Passo 3

A integral de superfície de um vetor sobre uma superfície esférica pode ser calculada usando a seguinte fórmula:
integral duplaS F cdot n , dS
onde F = (x, y, z) e n é o vetor normal à superfície. No caso de uma esfera, o vetor normal n é simplesmente o vetor posição dividido pelo raio, ou seja:
n = (x, y, z)R

Passo 4

Substituindo F e n na fórmula da integral, temos:
integral duplaS (x, y, z) cdot ( x, y, zR ) , dS = 1R integral duplaS (x^2 + y^2 + z^2) , dS
Sabemos que para qualquer ponto na esfera, x^2 + y^2 + z^2 = R^2 = 9.

Passo 5

Então, a integral simplifica para:
1R integral duplaS R^2 , dS = R integral duplaS dS
A integral integral duplaS dS é a área da superfície da esfera, que é 4pi R^2.

Passo 6

Substituindo R = 3, temos:
R integral duplaS dS = 3 times 4pi (3)^2 = 3 times 4pi times 9 = 108pi

Resposta

O valor da integral de superfície é 108pi.

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