Resolva a equação diferencial, usando o método dos coeficientes a determinar.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes:
Matéria envolvida: Equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes.
O que precisamos: Vamos usar o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução geral para a equação. Isso envolve resolver a equação homogênea associada e encontrar uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é obtida removendo os termos do lado direito:
Para resolver essa equação, usamos a equação característica. Substituímos
por
e obtemos:
Resolvendo para
:
Então, as soluções da equação homogênea são:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a solução particular da equação completa:
Vamos considerar cada termo do lado direito separadamente.
Para o termo
:
Note que
já aparece na solução homogênea
. Quando isso acontece, multiplicamos por
para buscar uma solução particular diferente. Portanto, propomos:
onde
é uma constante a ser determinada.
Para o termo
:
Aqui,
não está na solução homogênea, então podemos propor diretamente:
onde
é outra constante a ser determinada.
Passo 4
Vamos agora calcular as derivadas de
e
e substituí-las na equação original para encontrar os valores de
e
.
Para
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Substituindo na equação homogênea:
Igualando ao termo correspondente do lado direito:
Para
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Substituindo na equação homogênea:
Igualando ao termo correspondente do lado direito:
Passo 5
Agora que encontramos os valores de
e
, podemos escrever a solução particular completa:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.