Resolva a equação diferencial, usando o método dos coeficientes a determinar.
y'' - 16y = 19.2e^(4x) + 60e^(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes:
Matéria envolvida: Equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes.
O que precisamos: Vamos usar o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução geral para a equação. Isso envolve resolver a equação homogênea associada e encontrar uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é obtida removendo os termos do lado direito:
Para resolver essa equação, usamos a equação característica. Substituímos por e obtemos:
Resolvendo para :
Então, as soluções da equação homogênea são:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a solução particular da equação completa:
Vamos considerar cada termo do lado direito separadamente.
Para o termo :
Note que já aparece na solução homogênea . Quando isso acontece, multiplicamos por para buscar uma solução particular diferente. Portanto, propomos:
onde é uma constante a ser determinada.
Para o termo :
Aqui, não está na solução homogênea, então podemos propor diretamente:
onde é outra constante a ser determinada.

Passo 4

Vamos agora calcular as derivadas de e e substituí-las na equação original para encontrar os valores de e .
Para :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Substituindo na equação homogênea:
Igualando ao termo correspondente do lado direito:
Para :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Substituindo na equação homogênea:
Igualando ao termo correspondente do lado direito:

Passo 5

Agora que encontramos os valores de e , podemos escrever a solução particular completa:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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