Calcule a integral de superfície de cada uma das funcões vetoriais : ao longo da superfície (de parametrização ) dadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de superfície da função vetorial sobre a superfície parametrizada por , onde varia de a e de a .
Matéria envolvida: Cálculo de integrais de superfície no cálculo vetorial.
O que vamos precisar: Entender como parametrizar a superfície, calcular derivadas parciais, o produto vetorial para encontrar o vetor normal, e finalmente integrar a função vetorial sobre a superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parametrização da superfície . Aqui, e são os parâmetros que variam nos intervalos dados.
Isso descreve um cone, já que , e , o que nos leva a .
Passo 3
Agora, para calcular a integral de superfície , precisamos encontrar o vetor diferencial de área . Para isso, calculamos as derivadas parciais de em relação a e :
Passo 4
Com essas derivadas parciais, calculamos o produto vetorial , que nos dá um vetor normal à superfície:
Passo 5
O vetor diferencial de área é então .
Passo 6
Agora, precisamos calcular o produto escalar F(x, y, z) = (-x, -y, z^2) e dS = (v cos u, v sin u, v) , du , dv :
F cdot dS = (-v cos u, -v sin u, v^2) cdot (v cos u, v sin u, v) , du , dv
Substituindo , , e :
Passo 7
Calculando o produto escalar:
(-v cos u)(v cos u) + (-v sin u)(v sin u) + (v^2)(v) = -v^2 cos^2 u - v^2 sin^2 u + v^3