Calcule a integral de superfície integralS integral F d S de cada uma das funcões vetoriais F : R^3 R^3 ao longo da superfície S (de parametrização r(u, v) ) dadas.
F(x, y, z)=(-x,-y, z^2), r(u, v)=(v cos u, v sen u, v),(u, v) in[0,2 pi] times[1,2 pi]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de superfície da função vetorial sobre a superfície parametrizada por , onde varia de a e de a .
Matéria envolvida: Cálculo de integrais de superfície no cálculo vetorial.
O que vamos precisar: Entender como parametrizar a superfície, calcular derivadas parciais, o produto vetorial para encontrar o vetor normal, e finalmente integrar a função vetorial sobre a superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parametrização da superfície . Aqui, e são os parâmetros que variam nos intervalos dados.
Isso descreve um cone, já que , e , o que nos leva a .

Passo 3

Agora, para calcular a integral de superfície partial rpartial u = (-v sin u, v cos u, 0) , precisamos encontrar o vetor diferencial de área partial rpartial v = (cos u, sin u, 1) . Para isso, calculamos as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 4

Com essas derivadas parciais, calculamos o produto vetorial partial rpartial u times partial rpartial v = i & j & k - v sin u & v cos u & 0 cos u & sin u & 1 = (v cos u, v sin u, v) , que nos dá um vetor normal à superfície:

Passo 5

O vetor diferencial de área é então .

Passo 6

Agora, precisamos calcular o produto escalar F(x, y, z) = (-x, -y, z^2) e dS = (v cos u, v sin u, v) , du , dv :
F cdot dS = (-v cos u, -v sin u, v^2) cdot (v cos u, v sin u, v) , du , dv
Substituindo , , e :

Passo 7

Calculando o produto escalar:
(-v cos u)(v cos u) + (-v sin u)(v sin u) + (v^2)(v) = -v^2 cos^2 u - v^2 sin^2 u + v^3
Simplificando:
- v^2 (cos^2 u + sin^2 u) + v^3 = -v^2 (1) + v^3 = -v^2 + v^3

Passo 8

Agora, a integral de superfície fica:
integral duplaS F cdot dS = integralu=0^2pi integralv=1^2pi (-v^2 + v^3) , dv , du

Passo 9

Primeiro, integramos em relação a integralv=1^2pi (-v^2 + v^3) , dv = [ -v^33 + v^44 ]1^2pi :
- (2pi)^33 + (2pi)^44 = -8pi^33 + 16pi^44 = -8pi^33 + 4pi^4
Calculando nos limites:
Para - 1^33 + 1^44 = -13 + 14 = -412 + 312 = -112 :
( -8pi^33 + 4pi^4 ) - ( -112 ) = -8pi^33 + 4pi^4 + 112
Para :
A diferença:

Passo 10

Agora, integramos em relação a integralu=0^2pi ( -8pi^33 + 4pi^4 + 112 ) du = ( -8pi^33 + 4pi^4 + 112 ) times (2pi - 0) :
= ( -8pi^33 + 4pi^4 + 112 ) times 2pi = -16pi^43 + 8pi^5 + pi6

Resposta

A integral de superfície é igual a .

Exercícios relacionados

Resolva a equação diferencial, usando o método dos coeficientes a determinar.
y'' - 16y = 19.2e^(4x) + 60e^(x)
Resolva a equação diferencial, usando o método dos coeficientes a determinar.
y'' + y' - 6y = 6x^3 - 3x^2 + 12x
Calcule a integral de superfície
integral duplaS(x, y, z) d S, onde S é esfera x^2+y^2+z^2=9, Resp.: 108 pi
Determine uma equação paramétrica para cada uma das superfícies dadas.
A parte do plano z = 5 que está dentro do cilindro x^2/16 + y^2/9 = 1,
Resp.: r(u, v) = (4 v cos(u), 3 v sen(u), 5), (u, v) in [0, 2 pi] x [0, 1].