Resolva a equação diferencial, usando o método dos coeficientes a determinar.
y'' + omega^2 y = cos(omega x), omega pertence a R

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial linear de segunda ordem:
O conteúdo que vamos utilizar aqui é Equações Diferenciais Lineares e, mais especificamente, o Método dos Coeficientes a Determinar para encontrar uma solução particular da equação. Vamos precisar identificar a solução da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular que satisfaça a equação completa.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada, que é:
Essa é uma equação diferencial linear de equação característica com soluções que envolvem funções trigonométricas. A solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se elas forem fornecidas.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa:
Usaremos o Método dos Coeficientes a Determinar, que consiste em supor uma forma para e determinar os coeficientes que fazem essa solução satisfazer a equação.

Passo 4

Observamos que o membro da direita da equação é . Normalmente, tentaríamos usar uma solução particular da forma:
onde e são coeficientes a serem determinados.

Passo 5

No entanto, percebemos que e já aparecem na solução homogênea . Isso significa que a solução proposta para é uma solução da equação homogênea, e não podemos usá-la diretamente para a solução particular.

Passo 6

Quando isso acontece, multiplicamos nossa suposição inicial por para obter uma forma válida para a solução particular. Assim, tentamos:

Passo 7

Agora, vamos calcular as derivadas necessárias para substituir na equação diferencial:
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 8

Substituímos e na equação diferencial original:
Substituindo:
Simplificando, os termos com se cancelam:

Passo 9

Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes dos dois lados da equação:
Para :
Para :

Passo 10

Com os valores de e encontrados, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular encontrada:
onde e são constantes arbitrárias.

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