Resolva a equação diferencial, usando o método dos coeficientes a determinar.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial linear de segunda ordem:
O conteúdo que vamos utilizar aqui é Equações Diferenciais Lineares e, mais especificamente, o Método dos Coeficientes a Determinar para encontrar uma solução particular da equação. Vamos precisar identificar a solução da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular que satisfaça a equação completa.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada, que é:
Essa é uma equação diferencial linear de equação característica com soluções que envolvem funções trigonométricas. A solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se elas forem fornecidas.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
da equação completa:
Usaremos o Método dos Coeficientes a Determinar, que consiste em supor uma forma para
e determinar os coeficientes que fazem essa solução satisfazer a equação.
Passo 4
Observamos que o membro da direita da equação é
. Normalmente, tentaríamos usar uma solução particular da forma:
onde
e
são coeficientes a serem determinados.
Passo 5
No entanto, percebemos que
e
já aparecem na solução homogênea
. Isso significa que a solução proposta para
é uma solução da equação homogênea, e não podemos usá-la diretamente para a solução particular.
Passo 6
Quando isso acontece, multiplicamos nossa suposição inicial por
para obter uma forma válida para a solução particular. Assim, tentamos:
Passo 7
Agora, vamos calcular as derivadas necessárias para substituir na equação diferencial:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 8
Substituímos
e
na equação diferencial original:
Substituindo:
Simplificando, os termos com
se cancelam:
Passo 9
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes dos dois lados da equação:
Para
:
Para
:
Passo 10
Com os valores de
e
encontrados, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular encontrada:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Determine uma equação paramétrica para cada uma das superfícies dadas.
A parte do plano que está dentro do cilindro
,
Resp.: .
A parte do plano
Resp.:
Calcule a integral de superfície
, onde
é esfera
Resp.:
Resolva o problema de valor inicial.
Calcule a integral de superfície
de cada uma das funcões vetoriais
:
ao longo da superfície
(de parametrização
) dadas.
asenucosv, asenusenv, acosu