Determine uma equação paramétrica para cada uma das superfícies dadas.
A parte do plano
que está dentro do cilindro
,
Resp.:
.
A parte do plano
Resp.:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma equação paramétrica para a parte do plano
que está dentro de um cilindro definido por
. Aqui estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com equações paramétricas de superfícies. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar o plano e o cilindro em termos de parâmetros que nos ajudem a descrever a região de interesse.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar no plano
. Isso significa que para qualquer ponto nessa parte do plano, a coordenada
é sempre 5. Então, nossa equação paramétrica precisa ter o
fixo em 5.
Passo 3
Agora, vamos analisar o cilindro
. Esse é um cilindro elíptico, onde os semieixos da elipse são
(porque
) e
(porque
).
Passo 4
Para parametrizar a elipse, podemos usar as funções trigonométricas seno e cosseno, que são perfeitas para descrever círculos e elipses. Então, vamos definir um parâmetro
que varia de
a
para cobrir toda a elipse.
Passo 5
Como queremos a parte do plano que está dentro do cilindro, precisamos permitir que esses pontos variem de algum jeito dentro da elipse. Para isso, introduzimos outro parâmetro
que varia de
a
. Esse parâmetro vai “escalar” os valores de
e
de
(no centro) até os valores máximos definidos pela elipse.
Então, nossas equações ficam:
Onde
varia de
a
e
varia de
a
.
Resposta
A equação paramétrica é
, onde
e
.
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Calcule a integral de superfície
, onde
é esfera
Resp.:
Calcule a integral de superfície
de cada uma das funcões vetoriais
:
ao longo da superfície
(de parametrização
) dadas.
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