Determine uma equação paramétrica para cada uma das superfícies dadas.
A parte do plano z = 5 que está dentro do cilindro x^2/16 + y^2/9 = 1,
Resp.: r(u, v) = (4 v cos(u), 3 v sen(u), 5), (u, v) in [0, 2 pi] x [0, 1].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma equação paramétrica para a parte do plano que está dentro de um cilindro definido por . Aqui estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com equações paramétricas de superfícies. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar o plano e o cilindro em termos de parâmetros que nos ajudem a descrever a região de interesse.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no plano . Isso significa que para qualquer ponto nessa parte do plano, a coordenada é sempre 5. Então, nossa equação paramétrica precisa ter o fixo em 5.

Passo 3

Agora, vamos analisar o cilindro . Esse é um cilindro elíptico, onde os semieixos da elipse são (porque ) e (porque ).

Passo 4

Para parametrizar a elipse, podemos usar as funções trigonométricas seno e cosseno, que são perfeitas para descrever círculos e elipses. Então, vamos definir um parâmetro que varia de a para cobrir toda a elipse.

Passo 5

Como queremos a parte do plano que está dentro do cilindro, precisamos permitir que esses pontos variem de algum jeito dentro da elipse. Para isso, introduzimos outro parâmetro que varia de a . Esse parâmetro vai “escalar” os valores de e de (no centro) até os valores máximos definidos pela elipse.
Então, nossas equações ficam:
Onde varia de a e varia de a .

Resposta

A equação paramétrica é , onde e .

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