Calcule a integral de superfície
, onde
é parte do cilindro
no primeiro octante, limitado pelo plano
e pelo plano
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de superfície
, onde
é uma parte do cilindro
no primeiro octante, limitada pelo plano
(ou seja,
) e pelo plano
. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de coordenadas cilíndricas e integração de superfícies.
Passo 2
Vamos parametrizar a superfície
. Como
é parte do cilindro
, podemos usar coordenadas cilíndricas para facilitar. Em coordenadas cilíndricas, temos:
Aqui, o raio do cilindro é
. Como estamos no primeiro octante,
varia de
a
e
varia de
a
.
Passo 3
A parametrização da superfície fica então:
Passo 4
Vamos calcular os vetores tangentes
e
:
Passo 5
O vetor normal à superfície é o produto vetorial
:
O módulo desse vetor é:
Passo 6
Agora, a integral de superfície se transforma em:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Multiplicando por 3:
Passo 8
Agora, integraremos em relação a
primeiro:
Passo 9
Agora, integraremos em relação a
:
Para a primeira integral, fazemos a substituição
,
:
A segunda parte é:
Resposta
Somando as duas partes, temos
. Portanto, a integral de superfície é: