Calcule a integral de superfície integral duplaS x^2 y+z^2 d S, onde S é parte do cilindro x^2+y^2=9 no primeiro octante, limitado pelo plano x y e pelo plano z=2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de superfície , onde é uma parte do cilindro no primeiro octante, limitada pelo plano (ou seja, ) e pelo plano . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de coordenadas cilíndricas e integração de superfícies.

Passo 2

Vamos parametrizar a superfície x = r cos theta, y = r sin theta, z = z . Como é parte do cilindro , podemos usar coordenadas cilíndricas para facilitar. Em coordenadas cilíndricas, temos:
Aqui, o raio do cilindro é . Como estamos no primeiro octante, varia de a e varia de a .

Passo 3

A parametrização da superfície fica então:
r(theta, z) = (3 cos theta, , 3 sin theta, , z), 0 <= theta <= pi2, 0 <= z <= 2

Passo 4

Vamos calcular os vetores tangentes rtheta = ( -3 sin theta, , 3 cos theta, , 0 ) e rz = ( 0, , 0, , 1 ) :

Passo 5

O vetor normal à superfície é o produto vetorial n = rtheta times rz = ( 3 cos theta, , 3 sin theta, , 0 ) :
|n| = 3 raizcos^2 theta + sin^2 theta = 3
O módulo desse vetor é:

Passo 6

Agora, a integral de superfície se transforma em:
integral duplaS x^2 y + z^2 , dS = integral0^pi2 integral0^2 ( (3 cos theta)^2 (3 sin theta) + z^2 ) cdot 3 , dz , dtheta

Passo 7

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
(9 cos^2 theta)(3 sin theta) + z^2 = 27 cos^2 theta sin theta + z^2
Multiplicando por 3:
81 cos^2 theta sin theta + 3 z^2

Passo 8

Agora, integraremos em relação a integral0^2 (81 cos^2 theta sin theta + 3 z^2) , dz = 81 cos^2 theta sin theta cdot 2 + 3 cdot 2^33 = 162 cos^2 theta sin theta + 8 primeiro:

Passo 9

Agora, integraremos em relação a integral0^pi2 (162 cos^2 theta sin theta + 8) , dtheta = 162 integral0^pi2 cos^2 theta sin theta , dtheta + 8 cdot pi2 :
162 cdot ( -integral1^0 u^2 , du ) = 162 cdot 13 = 54
Para a primeira integral, fazemos a substituição 8 cdot pi2 = 4pi , :
A segunda parte é:

Resposta

Somando as duas partes, temos 54 + 4pi . Portanto, a integral de superfície é:

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