Calcule integralgamma(x e^y) d x+(2 x y) d y onde gamma é a reta que liga o ponto (1,1) a (2,8).

Passo 1

Ok, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde é a reta que liga os pontos e . Vou te explicar passo a passo como fazer isso, usando conceitos de cálculo que envolvem parametrização de curvas e integrais de linhas.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a reta x(t) = x0 + t(x1 - x0) que vai de y(t) = y0 + t(y1 - y0) a x(t) = 1 + t(2 - 1) = 1 + t . Parametrizar significa descrever os pontos da reta usando uma variável, geralmente y(t) = 1 + t(8 - 1) = 1 + 7t , que varia de 0 a 1.
Sabemos que se temos dois pontos e , uma parametrização linear é dada por:
onde varia de 0 a 1.
Aplicando isso aos pontos e :

Passo 3

Agora que temos dxdt = 1 implies dx = 1 cdot dt = dt e dydt = 7 implies dy = 7 cdot dt = 7dt , vamos calcular e em termos de . Isso é necessário para substituir na integral.
Derivando e em relação a :

Passo 4

Vamos substituir integralgamma(x e^y) dx + (2 x y) dy = integral0^1 [(1 + t)e^1 + 7t cdot dt + 2(1 + t)(1 + 7t) cdot 7dt] , , e na integral original:

Passo 5

Agora é só calcular essa integral. Vamos separar em duas partes:
integral0^1 (1 + t)e^1 + 7t dt + integral0^1 14(1 + t)(1 + 7t) dt
Para a primeira integral, fazemos uma substituição , o que simplifica o cálculo. A segunda integral é um polinômio que podemos expandir e integrar termo a termo.
Após calcular ambas as integrais, somamos os resultados para obter o valor final.

Resposta

Após realizar os cálculos, o valor da integral de linha é aproximadamente .

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