Calcule
onde
é a reta que liga o ponto
a
.
Passo 1
Ok, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
, onde
é a reta que liga os pontos
e
. Vou te explicar passo a passo como fazer isso, usando conceitos de cálculo que envolvem parametrização de curvas e integrais de linhas.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a reta
que vai de
a
. Parametrizar significa descrever os pontos da reta usando uma variável, geralmente
, que varia de 0 a 1.
Sabemos que se temos dois pontos
e
, uma parametrização linear é dada por:
onde
varia de 0 a 1.
Aplicando isso aos pontos
e
:
Passo 3
Agora que temos
e
, vamos calcular
e
em termos de
. Isso é necessário para substituir na integral.
Derivando
e
em relação a
:
Passo 4
Vamos substituir
,
,
e
na integral original:
Passo 5
Agora é só calcular essa integral. Vamos separar em duas partes:
Para a primeira integral, fazemos uma substituição
, o que simplifica o cálculo. A segunda integral é um polinômio que podemos expandir e integrar termo a termo.
Após calcular ambas as integrais, somamos os resultados para obter o valor final.
Resposta
Após realizar os cálculos, o valor da integral de linha é aproximadamente
.