O campo de força é dado por
, e
dada pelos segmentos de retas: da origem ao ponto
, do ponto
ao ponto
, e do ponto
à origem. Calcule o trabalho realizado pelo campo para mover uma partícula sobre a curva
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o trabalho realizado por um campo de força quando uma partícula se move ao longo de uma curva específica. O campo de força é dado por
. A curva
é composta por três segmentos de reta: da origem
até
, de
até
e de
de volta à origem. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de integrais de linha para calcular o trabalho realizado pelo campo ao longo de cada segmento da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é trabalho em termos de campos de força. O trabalho
realizado por um campo de força
ao mover uma partícula ao longo de um caminho
é dado pela integral de linha:
Aqui,
representa o produto escalar entre o campo de força e o vetor diferencial de deslocamento ao longo da curva.
Passo 3
Vamos dividir a curva
em três segmentos:
- Segmento 1: Da origem
até - Segmento 2: De
até - Segmento 3: De
de volta à origem
Vamos calcular o trabalho em cada segmento separadamente e depois somar os resultados para obter o trabalho total.
Passo 4
Segmento 1: Da
até
Nesse trecho,
e
varia de 0 a 1. Então, podemos parametrizar o segmento como:
O diferencial de deslocamento é:
Substituindo na expressão do trabalho:
Calculando
:
Então:
Passo 5
Segmento 2: De
até
Aqui, o caminho é uma reta que liga
a
. Podemos parametrizar esse segmento usando um parâmetro
:
O diferencial de deslocamento é:
Agora, calculamos
:
Simplificando:
Portanto:
Calculando o produto escalar
:
Integrando:
Passo 6
Segmento 3: De
até
Neste trecho,
e
varia de 1 a 0. Podemos parametrizar como:
O diferencial de deslocamento é:
Calculando
:
Portanto, o trabalho nesse segmento é:
Passo 7
Agora, somamos os trabalhos dos três segmentos para obter o trabalho total:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo ao mover a partícula sobre a curva
é
.