O campo de força é dado por F(x, y) = (x^2 + x * y) i + (x * y^2) j, e gamma dada pelos segmentos de retas: da origem ao ponto 1,0, do ponto 1,0 ao ponto 0,1, e do ponto 0,1 à origem. Calcule o trabalho realizado pelo campo para mover uma partícula sobre a curva gamma.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o trabalho realizado por um campo de força quando uma partícula se move ao longo de uma curva específica. O campo de força é dado por . A curva é composta por três segmentos de reta: da origem até , de até e de de volta à origem. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de integrais de linha para calcular o trabalho realizado pelo campo ao longo de cada segmento da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é trabalho em termos de campos de força. O trabalho realizado por um campo de força ao mover uma partícula ao longo de um caminho é dado pela integral de linha:
Aqui, representa o produto escalar entre o campo de força e o vetor diferencial de deslocamento ao longo da curva.

Passo 3

Vamos dividir a curva em três segmentos:
  1. Segmento 1: Da origem até
  2. Segmento 2: De até
  3. Segmento 3: De de volta à origem
Vamos calcular o trabalho em cada segmento separadamente e depois somar os resultados para obter o trabalho total.

Passo 4

Segmento 1: Da até
Nesse trecho, e varia de 0 a 1. Então, podemos parametrizar o segmento como:
O diferencial de deslocamento é:
Substituindo na expressão do trabalho:
Calculando :
Então:

Passo 5

Segmento 2: De até
Aqui, o caminho é uma reta que liga a . Podemos parametrizar esse segmento usando um parâmetro :
O diferencial de deslocamento é:
Agora, calculamos :
Simplificando:
Portanto:
Calculando o produto escalar :
Integrando:

Passo 6

Segmento 3: De até
Neste trecho, e varia de 1 a 0. Podemos parametrizar como:
O diferencial de deslocamento é:
Calculando :
Portanto, o trabalho nesse segmento é:

Passo 7

Agora, somamos os trabalhos dos três segmentos para obter o trabalho total:

Resposta

O trabalho realizado pelo campo ao mover a partícula sobre a curva é .

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