Calcule a integral de superfície:
, onde
é a parte do parabolóide
que está dentro do cilindro
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral de superfície para calcular:
. O S é a parte do parabolóide
que está dentro do cilindro
. A gente vai precisar saber sobre cálculo de superfícies e coordenadas polares pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a área S que estamos integrando. O parabolóide
é uma superfície que se abre para cima, e o cilindro
é um cilindro circular de raio 2. Então, a interseção dessas duas superfícies é onde
, porque substituindo
na equação do parabolóide, temos
.
Passo 3
Agora, para calcular a integral de superfície, a gente pode usar coordenadas polares, já que temos simetria circular. Vamos fazer a substituição:
onde
vai de 0 a 2 (raio do cilindro) e
vai de 0 a
.
Passo 4
A próxima coisa é encontrar o elemento de área
na superfície. Para uma superfície definida por
, o elemento de área em coordenadas polares é dado por:
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Então, o elemento de área fica:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na integral original:
Simplificando:
Passo 6
Observa que
, porque o seno é uma função ímpar e se integra a zero em um ciclo completo. Então, independentemente do valor da outra integral, todo o produto será zero.
Resposta
Portanto, a integral de superfície
.
Exercícios relacionados
Para as funções a seguir, determine o domínio de
e o valor de
nos pontos indicados:
Determine o rotacional e o divergente dos campos vetoriais.
Esboce o campo vetorial
em pelo menos cinco pontos.
Descreva as superfícies de nível associadas a
: