Calcule a integral de superfície: integral duplaS y d S, onde S é a parte do parabolóide z=x^2+y^2 que está dentro do cilindro x^2+y^2=4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral de superfície para calcular: . O S é a parte do parabolóide que está dentro do cilindro . A gente vai precisar saber sobre cálculo de superfícies e coordenadas polares pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a área S que estamos integrando. O parabolóide é uma superfície que se abre para cima, e o cilindro é um cilindro circular de raio 2. Então, a interseção dessas duas superfícies é onde , porque substituindo na equação do parabolóide, temos .

Passo 3

Agora, para calcular a integral de superfície, a gente pode usar coordenadas polares, já que temos simetria circular. Vamos fazer a substituição:
x = r costheta, y = r sintheta, z = r^2
onde vai de 0 a 2 (raio do cilindro) e vai de 0 a .

Passo 4

A próxima coisa é encontrar o elemento de área dS = raiz1 + (partial zpartial r)^2 , r , dr , dtheta na superfície. Para uma superfície definida por partial zpartial r = 2r , o elemento de área em coordenadas polares é dado por:
dS = raiz1 + (2r)^2 , r , dr , dtheta = raiz1 + 4r^2 , r , dr , dtheta
Calculando a derivada parcial de em relação a :
Então, o elemento de área fica:

Passo 5

Agora, substituímos integral duplaS y , dS = integral0^2pi integral0^2 (r sintheta) cdot raiz1 + 4r^2 , r , dr , dtheta e integral duplaS y , dS = integral0^2pi sintheta , dtheta integral0^2 r^2 raiz1 + 4r^2 , dr na integral original:
Simplificando:

Passo 6

Observa que , porque o seno é uma função ímpar e se integra a zero em um ciclo completo. Então, independentemente do valor da outra integral, todo o produto será zero.

Resposta

Portanto, a integral de superfície .

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