Determine o rotacional e o divergente dos campos vetoriais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A questão pede para determinar o rotacional e a divergente do campo vetorial . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente sobre operadores diferenciais aplicados a campos vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender e aplicar as definições de divergente e rotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergente de . A divergente é uma medida de quanto o campo está “espalhando” ou “convergindo” em um ponto. Matematicamente, para um campo , a divergente é dada por:

Passo 3

Vamos identificar as componentes do campo :
Agora, calculamos as derivadas parciais:

Passo 4

Somando essas derivadas, temos a divergente:

Passo 5

Agora, vamos calcular o rotacional de . O rotacional indica a tendência do campo de “girar” ao redor de um ponto. A fórmula para o rotacional é:

Passo 6

Calculando cada componente:

Passo 7

Substituindo na expressão do rotacional:

Resposta

A divergente do campo vetorial é e o rotacional é .

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