Determine o rotacional e o divergente dos campos vetoriais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício! A questão pede para determinar o rotacional e a divergente do campo vetorial
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente sobre operadores diferenciais aplicados a campos vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender e aplicar as definições de divergente e rotacional.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergente de
. A divergente é uma medida de quanto o campo está “espalhando” ou “convergindo” em um ponto. Matematicamente, para um campo
, a divergente é dada por:
Passo 3
Vamos identificar as componentes do campo
:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Passo 4
Somando essas derivadas, temos a divergente:
Passo 5
Agora, vamos calcular o rotacional de
. O rotacional indica a tendência do campo de “girar” ao redor de um ponto. A fórmula para o rotacional é:
Passo 6
Calculando cada componente:
Passo 7
Substituindo na expressão do rotacional:
Resposta
A divergente do campo vetorial é
e o rotacional é
.
Exercícios relacionados
Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais.
, onde
é o campo vetorial em
dado por
e a curva
é dada por
.
Diga se o integral de linha é independente do caminho (com extremos fixados indicados): em caso positivo avalie o integral; no caso negativo, indique dois caminhos com distintos valores do integral.
onde
é qualquer caminho diferenciável entre os pontos
Para as funções a seguir, determine o domínio de
e o valor de
nos pontos indicados:
Calcule a integral de superfície:
, onde
é a parte do parabolóide
que está dentro do cilindro
.