Para as funções a seguir, determine o domínio de f e o valor de f nos pontos indicados:
f(x, y, u, v, w) = w * ln(x - y) - x * u * e^(u + w); (2, 1, 3, 4, -1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o domínio da função e calcular o valor dessa função no ponto . Vamos precisar entender o que é domínio de uma função e como calcular o valor da função em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores das variáveis que tornam a função definida. No nosso caso, temos a função . Precisamos verificar as restrições que podem existir para .

Passo 3

Vamos analisar cada parte da função:
  1. : O logaritmo natural está definido apenas para argumentos positivos. Então, precisamos que .
  2. : A função exponencial está sempre definida para qualquer número real, então não impõe restrições.
Além disso, não há divisões por zero ou outras operações que possam causar restrições adicionais. Então, a única condição para o domínio é .

Passo 4

Então, o domínio da função é todos os valores de tais que . Em outras palavras:

Passo 5

Agora, vamos calcular o valor da função no ponto . Substituímos , , , , e na função:

Passo 6

Simplificando os cálculos passo a passo:
  1. (porque )
  2. é aproximadamente
Então:

Resposta

O domínio da função é e o valor de no ponto é aproximadamente .

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