Para as funções a seguir, determine o domínio de
e o valor de
nos pontos indicados:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o domínio da função
e calcular o valor dessa função no ponto
. Vamos precisar entender o que é domínio de uma função e como calcular o valor da função em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores das variáveis que tornam a função definida. No nosso caso, temos a função
. Precisamos verificar as restrições que podem existir para
.
Passo 3
Vamos analisar cada parte da função:
-
: O logaritmo natural está definido apenas para argumentos positivos. Então, precisamos que . -
: A função exponencial está sempre definida para qualquer número real, então não impõe restrições.
Além disso, não há divisões por zero ou outras operações que possam causar restrições adicionais. Então, a única condição para o domínio é
.
Passo 4
Então, o domínio da função
é todos os valores de
tais que
. Em outras palavras:
Passo 5
Agora, vamos calcular o valor da função no ponto
. Substituímos
,
,
,
, e
na função:
Passo 6
Simplificando os cálculos passo a passo:
-
-
(porque ) -
-
é aproximadamente
Então:
Resposta
O domínio da função
é
e o valor de
no ponto
é aproximadamente
.
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Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais.
, onde
é o campo vetorial em
dado por
e a curva
é dada por
.
Calcule a integral de superfície:
, onde
é a parte do parabolóide
que está dentro do cilindro
.
Esboce o campo vetorial
em pelo menos cinco pontos.