Calcule a integral de superfície
integral duplaS(x y, y z, x z) d S, onde S é a parte do parabolóide z=4-x^2-y^2 que está acima do quadrado 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1, Resp.: 713180

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de integral de superfície juntos! O enunciado pede para calcular a integral de superfície de um vetor (xy, yz, xz) sobre a parte do parabolóide z = 4 - x^2 - y^2 que está acima do quadrado definido por 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 1. Para isso, vamos precisar entender como parametrizar a superfície, calcular o vetor normal e aplicar a fórmula da integral de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a superfície S. Sabemos que S é parte do parabolóide z = 4 - x^2 - y^2. Como nossa região está acima do quadrado 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 1, podemos usar x e y como parâmetros. Ou seja, podemos definir:
r(x, y) = (x, y, 4 - x^2 - y^2)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor normal à superfície. Para isso, calculamos os vetores tangentes em relação a x e y:
rx = (1, 0, -2x)
ry = (0, 1, -2y)
O vetor normal n é o produto vetorial desses vetores tangentes:
n = rx times ry = i & j & k 1 & 0 & -2x 0 & 1 & -2y = (2x, 2y, 1)

Passo 4

A integral de superfície para um campo vetorial F é dada por:
integral duplaS F cdot n , dS
Substituindo F = (xy, yz, xz) e n = (2x, 2y, 1):
F cdot n = xy cdot 2x + yz cdot 2y + xz cdot 1 = 2x^2y + 2y^2z + xz
Mas lembre-se que z = 4 - x^2 - y^2, então substituímos:
2x^2y + 2y^2(4 - x^2 - y^2) + x(4 - x^2 - y^2) = 2x^2y + 8y^2 - 2x^2y^2 - 2y^4 + 4x - x^3 - xy^2

Passo 5

Agora, configuramos a integral dupla sobre a região 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 1:
integral dupla0^1 integral0^1 (2x^2y + 8y^2 - 2x^2y^2 - 2y^4 + 4x - x^3 - xy^2) dy , dx
Vamos integrar termo a termo:
  1. integral0^1 integral0^1 2x^2y , dy , dx = 2x^2 cdot y^22 |0^1 = x^2
  2. integral0^1 integral0^1 8y^2 , dy , dx = 8 cdot y^33 |0^1 = 83
  3. integral0^1 integral0^1 -2x^2y^2 , dy , dx = -2x^2 cdot y^33 |0^1 = -2x^23
  4. integral0^1 integral0^1 -2y^4 , dy , dx = -2 cdot y^55 |0^1 = -25
  5. integral0^1 integral0^1 4x , dy , dx = 4x cdot y |0^1 = 4x
  6. integral0^1 integral0^1 -x^3 , dy , dx = -x^3 cdot y |0^1 = -x^3
  7. integral0^1 integral0^1 -xy^2 , dy , dx = -x cdot y^33 |0^1 = -x3
Somando todos os resultados:
integral0^1 ( x^2 + 83 - 2x^23 - 25 + 4x - x^3 - x3 ) dx

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
x^2 - 2x^23 = 3x^2 - 2x^23 = x^23
4x - x3 = 12x - x3 = 11x3
Então, a integral fica:
integral0^1 ( x^23 + 83 - 25 + 11x3 - x^3 ) dx
Agora, vamos integrar termo a termo novamente:
  1. integral0^1 x^23 , dx = 13 cdot x^33 |0^1 = 19
  2. integral0^1 83 , dx = 83 cdot x |0^1 = 83
  3. integral0^1 -25 , dx = -25 cdot x |0^1 = -25
  4. integral0^1 11x3 , dx = 113 cdot x^22 |0^1 = 116
  5. integral0^1 -x^3 , dx = -x^44 |0^1 = -14
Somando todos os resultados:
19 + 83 - 25 + 116 - 14 = 19 + 249 - 3.69 + 16.59 - 2.259 = 713180

Resposta

A integral de superfície vale 713180.

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y'' + 4y' + 5y = e^(alpha x) sen(beta x) onde alpha e beta são números reais dados.
lim x 0(x+e^3 x)^1x
lim x +infty(1+2x)^5 x^2