Calcule a integral de superfície , onde é a parte do parabolóide que está acima do quadrado Resp.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de integral de superfície juntos! O enunciado pede para calcular a integral de superfície de um vetor sobre a parte do parabolóide que está acima do quadrado definido por e . Para isso, vamos precisar entender como parametrizar a superfície, calcular o vetor normal e aplicar a fórmula da integral de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a superfície . Sabemos que é parte do parabolóide . Como nossa região está acima do quadrado e , podemos usar e como parâmetros. Ou seja, podemos definir:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o vetor normal à superfície. Para isso, calculamos os vetores tangentes em relação a e :
O vetor normal é o produto vetorial desses vetores tangentes:
Passo 4
A integral de superfície para um campo vetorial F é dada por:
integral duplaS F cdot n , dS
Substituindo F = (xy, yz, xz) e n = (2x, 2y, 1):
F cdot n = xy cdot 2x + yz cdot 2y + xz cdot 1 = 2x^2y + 2y^2z + xz
Mas lembre-se que z = 4 - x^2 - y^2, então substituímos: