Calcule a integral de superfície de cada uma das funcões vetoriais : ao longo da superfície (de parametrização ) dadas. asenucosv, asenusenv, acosu
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de superfície da função vetorial sobre uma superfície parametrizada por , onde e variam de a . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de superfície, e precisaremos entender como parametrizar a superfície e calcular o produto vetorial dos vetores tangentes.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os vetores tangentes à superfície. Para isso, derivamos a parametrização em relação a e . Vamos chamar essas derivadas de e .
Derivando em relação a :
Derivando em relação a :
Passo 3
Agora, precisamos calcular o produto vetorial . Esse produto nos dá um vetor normal à superfície, que é essencial para a integral de superfície.
Calculando o determinante:
Passo 4
A próxima etapa é avaliar a função F(r(u, v)) = (0, 0, a cos u) na parametrização . Ou seja, substituímos por suas expressões em termos de e :
Passo 5
Agora, fazemos o produto escalar entre F cdot (ru times rv) = (0, 0, a cos u) cdot ( a^2 sin u cos u cos v, a^2 sin u cos u sin v, a^2 sin^2 u ) e F cdot (ru times rv) = 0 cdot a^2 sin u cos u cos v + 0 cdot a^2 sin u cos u sin v + a cos u cdot a^2 sin^2 u = a^3 sin^2 u cos u :
Calculando o produto escalar:
Passo 6
Finalmente, configuramos a integral dupla sobre os limites integral0^pi2 integral0^pi2 a^3 sin^2 u cos u , du , dv :
integral0^pi2 dv = pi2
Primeiro, integramos em relação a integral0^pi2 a^3 sin^2 u cos u , du :
a^3 integral0^1 w^2 , dw = a^3 [ w^33 ]0^1 = a^33
Agora, a integral em :
Fazemos uma substituição , então . Quando , e quando , :