Calcule a integral de superfície integralS integral F d S de cada uma das funcões vetoriais F : R^3 R^3 ao longo da superfície S (de parametrização r(u, v) ) dadas.
F(x, y, z)=(0,0, z), r(u, v)=( asenucosv, asenusenv, acosu ), (u, v) in [0, pi2] times[0, pi2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de superfície da função vetorial sobre uma superfície parametrizada por , onde e variam de a . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de superfície, e precisaremos entender como parametrizar a superfície e calcular o produto vetorial dos vetores tangentes.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os vetores tangentes à superfície. Para isso, derivamos a parametrização r(u, v) = ( a sin u cos v, a sin u sin v, a cos u ) em relação a ru = partial rpartial u = ( a cos u cos v, a cos u sin v, -a sin u ) e rv = partial rpartial v = ( -a sin u sin v, a sin u cos v, 0 ) . Vamos chamar essas derivadas de e .
Derivando em relação a :
Derivando em relação a :

Passo 3

Agora, precisamos calcular o produto vetorial ru times rv = i & j & k a cos u cos v & a cos u sin v & -a sin u - a sin u sin v & a sin u cos v & 0 . Esse produto nos dá um vetor normal à superfície, que é essencial para a integral de superfície.
ru times rv = ( a^2 sin u cos u cos v, a^2 sin u cos u sin v, a^2 sin^2 u )
Calculando o determinante:

Passo 4

A próxima etapa é avaliar a função F(r(u, v)) = (0, 0, a cos u) na parametrização . Ou seja, substituímos por suas expressões em termos de e :

Passo 5

Agora, fazemos o produto escalar entre F cdot (ru times rv) = (0, 0, a cos u) cdot ( a^2 sin u cos u cos v, a^2 sin u cos u sin v, a^2 sin^2 u ) e F cdot (ru times rv) = 0 cdot a^2 sin u cos u cos v + 0 cdot a^2 sin u cos u sin v + a cos u cdot a^2 sin^2 u = a^3 sin^2 u cos u :
Calculando o produto escalar:

Passo 6

Finalmente, configuramos a integral dupla sobre os limites integral0^pi2 integral0^pi2 a^3 sin^2 u cos u , du , dv :
integral0^pi2 dv = pi2
Primeiro, integramos em relação a integral0^pi2 a^3 sin^2 u cos u , du :
a^3 integral0^1 w^2 , dw = a^3 [ w^33 ]0^1 = a^33
Agora, a integral em :
Fazemos uma substituição , então . Quando , e quando , :

Resposta

A integral de superfície é .

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Escreva a forma apropriada de uma solução particular da equação dada:
y'' + 4y' + 5y = e^(alpha x) sen(beta x) onde alpha e beta são números reais dados.
Calcule a integral de superfície integralS integral F d S de cada uma das funcões vetoriais F : R^3 R^3 ao longo da superfície S (de parametrização r(u, v) ) dadas.
F(x, y, z)=(x, x, z), r(u, v)=( asenucosv, asenusenv, acosu ), (u, v) in [0, pi] times[0,2 pi]
Calcule a integral de superfície
integral duplaS(x y, y z, x z) d S, onde S é a parte do parabolóide z=4-x^2-y^2 que está acima do quadrado 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1, Resp.: 713180
lim x 0(x+e^3 x)^1x