Escreva a forma apropriada de uma solução particular da equação dada:
onde
e
são números reais dados.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou uma equação diferencial do segundo grau:
O que precisamos fazer é encontrar uma solução particular para essa equação. Pra isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e o método de coeficientes indeterminados.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender qual é a forma da solução particular quando o lado direito da equação é uma função exponencial multiplicada por uma função trigonométrica, que no caso é
. Isso sugere que nossa solução particular terá a forma:
Aqui,
e
são constantes que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, é importante verificar se essa forma que escolhemos para
não é solução da equação homogênea associada, que é:
Resolvendo a equação característica:
Calculando o discriminante:
As raízes são complexas:
Isso significa que a solução geral da homogênea é:
Passo 4
Voltando à nossa tentativa de solução particular:
Precisamos garantir que essa forma não esteja na solução geral da homogênea. Isso acontece se
e
. Se for esse o caso, precisamos multiplicar nossa expressão por
para garantir a linearidade. Mas se
e
forem diferentes, podemos seguir com a forma inicial.
Passo 5
Assumindo que
ou
, mantemos nossa forma inicial para
:
Agora, vamos calcular as derivadas de
para substituir na equação original.
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 6
Substituindo
,
e
na equação original:
Depois de substituir e simplificar os termos, agrupamos os coeficientes de
e
para igualar aos do lado direito da equação.
Isso nos dá um sistema de equações para
e
:
Passo 7
Resolvendo esse sistema para
e
, encontramos:
Resposta
A solução particular apropriada é:
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Resp.: