Escreva a forma apropriada de uma solução particular da equação dada:
y'' + 4y' + 5y = e^(alpha x) sen(beta x) onde alpha e beta são números reais dados.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou uma equação diferencial do segundo grau:
O que precisamos fazer é encontrar uma solução particular para essa equação. Pra isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e o método de coeficientes indeterminados.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender qual é a forma da solução particular quando o lado direito da equação é uma função exponencial multiplicada por uma função trigonométrica, que no caso é . Isso sugere que nossa solução particular terá a forma:
Aqui, A e B são constantes que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, é importante verificar se essa forma que escolhemos para não é solução da equação homogênea associada, que é:
Resolvendo a equação característica:
Calculando o discriminante:
As raízes são complexas:
Isso significa que a solução geral da homogênea é:

Passo 4

Voltando à nossa tentativa de solução particular:
Precisamos garantir que essa forma não esteja na solução geral da homogênea. Isso acontece se e . Se for esse o caso, precisamos multiplicar nossa expressão por x para garantir a linearidade. Mas se alpha e beta forem diferentes, podemos seguir com a forma inicial.

Passo 5

Assumindo que ou , mantemos nossa forma inicial para :
Agora, vamos calcular as derivadas de para substituir na equação original.
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 6

Substituindo , e na equação original:
Depois de substituir e simplificar os termos, agrupamos os coeficientes de e para igualar aos do lado direito da equação.
Isso nos dá um sistema de equações para A e B:

Passo 7

Resolvendo esse sistema para A e B, encontramos:

Resposta

A solução particular apropriada é:

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