lim x +infty(1+2x)^5 x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: .
Aqui, estamos trabalhando com Limites em Cálculo, especificamente lidando com expressões exponenciais que envolvem variáveis tendendo ao infinito. Para resolver isso, vamos usar algumas propriedades de limites e logaritmos para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o limite usando a função logarítmica. Isso ajuda a lidar com a potência que está complicando as coisas.
Seja ln L = lim x +infty 5x^2 cdot ln(1 + 2x) .
Então, aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:

Passo 3

Agora, vamos simplificar ln(1 + ax) approx ax - a^22x^2 + dots .
Para valores grandes de ln(1 + 2x) approx 2x - 42x^2 = 2x - 2x^2 , é muito pequeno, então podemos usar a aproximação:
Aqui, , então:

Passo 4

Substituindo essa aproximação na expressão de ln L approx lim x +infty 5x^2 ( 2x - 2x^2 ) :
ln L approx lim x +infty ( 5x^2 cdot 2x - 5x^2 cdot 2x^2 )
Vamos distribuir ln L approx lim x +infty ( 10x - 10 ) :
Simplificando cada termo:

Passo 5

Agora, calculamos o limite de cada termo separadamente:
lim x +infty 10x = +infty
lim x +infty (-10) = -10
Então:
ln L = +infty - 10 = +infty

Passo 6

Se , então .

Resposta

lim x +infty(1+2x)^5 x^2 = +infty

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