lim x 0(x+e^3 x)^1x

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x 0(x+e^3 x)^1x.
Esse exercício envolve o conceito de limites em funções exponenciais. Para resolvê-lo, vamos precisar entender como manipular expressões exponenciais e aplicar propriedades de logaritmos e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, para facilitar o cálculo, vamos tirar o logaritmo natural de ambos os lados. Isso é útil porque transforma a expressão exponencial em uma multiplicação, tornando-a mais fácil de lidar.
Seja L = lim x 0(x+e^3 x)^1x, então:
ln L = lim x 0 ln (x + e^3x)x

Passo 3

Agora, precisamos calcular o limite de ln (x + e^3x)x quando x tende a 0.
Vamos analisar a expressão x + e^3x. Sabemos que, quando x tende a 0, e^3x pode ser aproximado pela série de Maclaurin:
e^3x = 1 + 3x + (3x)^22! + dots
Portanto, para x próximo de 0:
x + e^3x approx x + 1 + 3x = 1 + 4x

Passo 4

Substituindo na expressão do logaritmo:
ln (x + e^3x) approx ln (1 + 4x)
Sabemos que, para y próximo de 0, ln(1 + y) approx y - y^22 + dots, então:
ln (1 + 4x) approx 4x - (4x)^22 = 4x - 8x^2

Passo 5

Agora, substituindo na expressão do limite:
ln L = lim x 0 4x - 8x^2x = lim x 0 4 - 8x = 4

Resposta

Portanto, L = e^4.

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