Calcule a integral de superfície
5. , Sé a parte do plano que está acima do retângulo .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície , onde é a parte do plano que fica acima do retângulo . Para isso, vamos precisar usar cálculo de integrais de superfície, que envolve parametrizar a superfície e calcular o elemento de área .
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular a integral de superfície. Quando a superfície é dada por uma função , o elemento de área pode ser expresso como:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.
Passo 3
Vamos encontrar essas derivadas parciais para o nosso plano :
Substituindo na fórmula do :
Passo 4
Agora, podemos reescrever a integral de superfície em termos de e :
Onde é o retângulo na projeção sobre o plano .
Passo 5
Vamos substituir pela sua expressão em termos de e :
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos distribuir dentro do parêntese:
Agora, podemos separar a integral em três partes:
Passo 7
Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente. Primeiro, definimos os limites de integração:
Então, calculamos:
Passo 8
Vamos resolver cada integral:
Passo 9
Agora, somamos tudo junto:
Passo 10
Finalmente, podemos deixar a resposta na forma simplificada ou calcular o valor numérico: