Calcule a integral de superfície
5.
, Sé a parte do plano
que está acima do retângulo
.
5.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície
, onde
é a parte do plano
que fica acima do retângulo
. Para isso, vamos precisar usar cálculo de integrais de superfície, que envolve parametrizar a superfície e calcular o elemento de área
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular a integral de superfície. Quando a superfície
é dada por uma função
, o elemento de área
pode ser expresso como:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos encontrar essas derivadas parciais para o nosso plano
:
Substituindo na fórmula do
:
Passo 4
Agora, podemos reescrever a integral de superfície em termos de
e
:
Onde
é o retângulo
na projeção sobre o plano
.
Passo 5
Vamos substituir
pela sua expressão em termos de
e
:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos distribuir
dentro do parêntese:
Agora, podemos separar a integral em três partes:
Passo 7
Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente. Primeiro, definimos os limites de integração:
Então, calculamos:
Passo 8
Vamos resolver cada integral:
Passo 9
Agora, somamos tudo junto:
Passo 10
Finalmente, podemos deixar a resposta na forma simplificada ou calcular o valor numérico:
Resposta
A integral de superfície é aproximadamente
.