Calcule a integral de superfície
5. integral duplaS x^2 y z d S, Sé a parte do plano z=1+2 x+3 y que está acima do retângulo [0,3] times[0,2].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície , onde é a parte do plano que fica acima do retângulo . Para isso, vamos precisar usar cálculo de integrais de superfície, que envolve parametrizar a superfície e calcular o elemento de área .

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular a integral de superfície. Quando a superfície dS = raiz1 + (partial zpartial x)^2 + (partial zpartial y)^2 , dx , dy é dada por uma função , o elemento de área pode ser expresso como:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 3

Vamos encontrar essas derivadas parciais para o nosso plano partial zpartial x = 2 e partial zpartial y = 3 :
dS = raiz1 + (2)^2 + (3)^2 , dx , dy = raiz1 + 4 + 9 , dx , dy = raiz14 , dx , dy
Substituindo na fórmula do :

Passo 4

Agora, podemos reescrever a integral de superfície em termos de integral duplaS x^2 y z , dS = raiz14 integral duplaD x^2 y z , dx , dy e :
Onde é o retângulo na projeção sobre o plano .

Passo 5

Vamos substituir z = 1 + 2x + 3y pela sua expressão em termos de raiz14 integral duplaD x^2 y (1 + 2x + 3y) , dx , dy e :
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos distribuir raiz14 integral duplaD (x^2 y + 2x^3 y + 3x^2 y^2) , dx , dy dentro do parêntese:
raiz14 ( integral duplaD x^2 y , dx , dy + 2 integral duplaD x^3 y , dx , dy + 3 integral duplaD x^2 y^2 , dx , dy )
Agora, podemos separar a integral em três partes:

Passo 7

Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente. Primeiro, definimos os limites de integração:
0 <= x <= 3 e 0 <= y <= 2
Então, calculamos:

Passo 8

Vamos resolver cada integral:

Passo 9

Agora, somamos tudo junto:
raiz14 ( 18 + 2 cdot 40.5 + 3 cdot 24 ) = raiz14 ( 18 + 81 + 72 ) = raiz14 cdot 171

Passo 10

Finalmente, podemos deixar a resposta na forma simplificada ou calcular o valor numérico:
raiz14 cdot 171 approx 3.7417 times 171 approx 639.0667

Resposta

A integral de superfície é aproximadamente .

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Calcule a integral de superfície
6. integral duplaS y z d S, S é a parte do plano x+y+z=1 que está no primeiro octante.
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