Identifique a superfície que tem a equação paramétrica dada.
3.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para identificar qual superfície é descrita pela equação paramétrica dada:
Vamos resolver isso usando conceitos de cálculo multivariável para entender de que superfície estamos falando.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada componente da equação representa. A equação paramétrica está expressa em termos das variáveis e , que são os parâmetros que variam para cobrir toda a superfície.
Podemos escrever as componentes da função vetorial como:
Aqui, são as coordenadas de um ponto na superfície para valores específicos de e .
Passo 3
Nosso objetivo é eliminar os parâmetros e para encontrar uma equação que relacione e diretamente. Isso nos ajudará a identificar a superfície.
Da segunda equação, temos:
Agora, vamos substituir na primeira equação para encontrar :
Passo 4
Agora que temos e em termos de e , vamos substituir esses valores na terceira equação para encontrar em termos de e :
Vamos simplificar essa expressão:
Passo 5
Agora temos uma equação linear que relaciona e :
Essa é a equação geral de um plano no espaço tridimensional. Um plano é uma superfície plana infinita que se estende em todas as direções.