Identifique a superfície que tem a equação paramétrica dada.
3. r(u, v) = (u + v)i + (3 - v)j + (1 + 4u + 5v)k

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para identificar qual superfície é descrita pela equação paramétrica dada:
Vamos resolver isso usando conceitos de cálculo multivariável para entender de que superfície estamos falando.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada componente da equação representa. A equação paramétrica está expressa em termos das variáveis e , que são os parâmetros que variam para cobrir toda a superfície.
Podemos escrever as componentes da função vetorial como:
Aqui, são as coordenadas de um ponto na superfície para valores específicos de e .

Passo 3

Nosso objetivo é eliminar os parâmetros e para encontrar uma equação que relacione e diretamente. Isso nos ajudará a identificar a superfície.
Da segunda equação, temos:
Agora, vamos substituir na primeira equação para encontrar :

Passo 4

Agora que temos e em termos de e , vamos substituir esses valores na terceira equação para encontrar em termos de e :
Vamos simplificar essa expressão:

Passo 5

Agora temos uma equação linear que relaciona e :
Essa é a equação geral de um plano no espaço tridimensional. Um plano é uma superfície plana infinita que se estende em todas as direções.

Resposta

A superfície é um plano definido pela equação .

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