Calcule a integral de superfície
6. integral duplaS y z d S, S é a parte do plano x+y+z=1 que está no primeiro octante.

Passo 1

Beleza! O enunciado pede para calcular a integral de superfície integral duplaS y z , dS, onde S é a parte do plano x + y + z = 1 que está no primeiro octante. Isso envolve o conteúdo de cálculo de integrais de superfície, que nos ajuda a somar valores de uma função sobre uma superfície no espaço. Vamos precisar entender como parametrizar essa superfície e expressar o elemento de área dS.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a área que estamos integrando. O primeiro octante significa que x, y e z são todos maiores ou iguais a zero. O plano x + y + z = 1 intercepta os eixos em (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1), formando um triângulo no primeiro octante. Então, nossa região de integração é esse triângulo.

Passo 3

Para calcular a integral de superfície, podemos parametrizar a superfície em termos de duas variáveis, digamos x e y. Como o plano é x + y + z = 1, podemos expressar z em função de x e y:
z = 1 - x - y

Passo 4

Agora, precisamos expressar o elemento de área dS em termos de dx e dy. Usamos a fórmula para superfícies definidas como z = f(x,y):
dS = raiz(partial zpartial x)^2 + (partial zpartial y)^2 + 1 , dx , dy
Calculando as derivadas parciais:
partial zpartial x = -1 e partial zpartial y = -1
Então:
dS = raiz(-1)^2 + (-1)^2 + 1 , dx , dy = raiz3 , dx , dy

Passo 5

Substituindo z = 1 - x - y e dS = raiz3 , dx , dy na integral, temos:
integral duplaS y z , dS = raiz3 integral duplaD y (1 - x - y) , dx , dy
Onde D é a região triangular definida por x >= 0, y >= 0 e x + y <= 1.

Passo 6

Vamos configurar a integral dupla. Para cada x de 0 a 1, y varia de 0 a 1 - x. Assim:
raiz3 integral0^1 integral0^1 - x y (1 - x - y) , dy , dx

Passo 7

Primeiro, integramos em relação a y:
integral0^1 - x y (1 - x - y) , dy = integral0^1 - x y (1 - x) - y^2 , dy
Separando as integrais:
(1 - x) integral0^1 - x y , dy - integral0^1 - x y^2 , dy
Calculando cada parte:
(1 - x) [ y^22 ]0^1 - x - [ y^33 ]0^1 - x = (1 - x) ( (1 - x)^22 ) - ( (1 - x)^33 )
Simplificando:
(1 - x)^32 - (1 - x)^33 = (1 - x)^36

Passo 8

Agora, integramos com relação a x:
raiz3 integral0^1 (1 - x)^36 , dx = raiz36 integral0^1 (1 - x)^3 , dx
Fazendo a substituição u = 1 - x, du = -dx, os limites de u vão de 1 a 0:
raiz36 integral1^0 u^3 (-du) = raiz36 integral0^1 u^3 , du
Calculando a integral:
raiz36 [ u^44 ]0^1 = raiz36 ( 14 - 0 ) = raiz324

Resposta

O valor da integral de superfície é dfracraiz324.

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