Calcule a integral de superfície
6.
é a parte do plano
que está no primeiro octante.
6.
Passo 1
Beleza! O enunciado pede para calcular a integral de superfície
, onde
é a parte do plano
que está no primeiro octante. Isso envolve o conteúdo de cálculo de integrais de superfície, que nos ajuda a somar valores de uma função sobre uma superfície no espaço. Vamos precisar entender como parametrizar essa superfície e expressar o elemento de área
.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a área que estamos integrando. O primeiro octante significa que
,
e
são todos maiores ou iguais a zero. O plano
intercepta os eixos em
,
e
, formando um triângulo no primeiro octante. Então, nossa região de integração é esse triângulo.
Passo 3
Para calcular a integral de superfície, podemos parametrizar a superfície em termos de duas variáveis, digamos
e
. Como o plano é
, podemos expressar
em função de
e
:
Passo 4
Agora, precisamos expressar o elemento de área
em termos de
e
. Usamos a fórmula para superfícies definidas como
:
Calculando as derivadas parciais:
Então:
Passo 5
Substituindo
e
na integral, temos:
Onde
é a região triangular definida por
,
e
.
Passo 6
Vamos configurar a integral dupla. Para cada
de 0 a 1,
varia de 0 a
. Assim:
Passo 7
Primeiro, integramos em relação a
:
Separando as integrais:
Calculando cada parte:
Simplificando:
Passo 8
Agora, integramos com relação a
:
Fazendo a substituição
,
, os limites de
vão de 1 a 0:
Calculando a integral:
Resposta
O valor da integral de superfície é
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral de superfície
5. , Sé a parte do plano
que está acima do retângulo
.
5.
Determine a área da superfície.
7. A parte do plano que está no primeiro octante
7. A parte do plano
Identifique a superfície que tem a equação paramétrica dada.
3.
3.
Identifique a superfície que tem a equação paramétrica dada.
4.
4.