Calcule a integral de superfície
, sendo dados:
e
a parte do cone
que está entre os planos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! O enunciado pede para calcular a integral de superfície
, onde
e
é a parte do cone
entre os planos
e
. A gente vai precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente parametrização de superfícies e integração em coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma do cone. A equação
representa um cone circular reto com vértice na origem, abrindo para cima e para baixo. Como estamos entre
e
, vamos considerar apenas a parte do cone que está acima do plano
.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde
,
e
. No cone
, ou seja,
(já que z é positivo nesse intervalo). Assim, podemos parametrizar o cone com
e
, onde
varia de 1 a 4 e
de 0 a
.
Passo 4
Agora, precisamos expressar a função
em coordenadas cilíndricas. Substituindo
e
, temos:
Passo 5
Em seguida, precisamos encontrar o elemento de área
na parametrização escolhida. Para um cone
, a área pode ser expressa como:
Calculando as derivadas:
Assim:
Passo 6
Agora, montamos a integral de superfície usando as expressões encontradas:
Passo 7
Vamos separar as integrais, já que são funções de
e
separáveis:
Primeiro, calculamos a integral em
:
Depois, a integral em
:
(Usamos a identidade trigonométrica
e integrando resulta em
)
Passo 8
Multiplicando os resultados das integrais:
Resposta
A integral de superfície
vale
.