Calcule a integral de superfície integral duplaS g(x, y, z) d S, sendo dados:
g(x, y, z)=x^2 z e S a parte do cone z^2=x^2+y^2 que está entre os planos z=1 e z=4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! O enunciado pede para calcular a integral de superfície , onde e é a parte do cone entre os planos e . A gente vai precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente parametrização de superfícies e integração em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma do cone. A equação representa um cone circular reto com vértice na origem, abrindo para cima e para baixo. Como estamos entre e , vamos considerar apenas a parte do cone que está acima do plano .

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde , e . No cone , ou seja, (já que z é positivo nesse intervalo). Assim, podemos parametrizar o cone com e , onde varia de 1 a 4 e de 0 a .

Passo 4

Agora, precisamos expressar a função g(r, theta) = (r costheta)^2 cdot r = r^3 cos^2theta em coordenadas cilíndricas. Substituindo e , temos:

Passo 5

Em seguida, precisamos encontrar o elemento de área dS = raiz(partial zpartial r)^2 + (partial zpartial theta)^2 , r , dr , dtheta na parametrização escolhida. Para um cone partial zpartial r = 1 e partial zpartial theta = 0 , a área pode ser expressa como:
dS = raiz1^2 + 0^2 cdot r , dr , dtheta = r , dr , dtheta
Calculando as derivadas:
Assim:

Passo 6

Agora, montamos a integral de superfície usando as expressões encontradas:
integral duplaS g(x, y, z) , dS = integral0^2pi integral1^4 r^3 cos^2theta cdot r , dr , dtheta = integral0^2pi integral1^4 r^4 cos^2theta , dr , dtheta

Passo 7

Vamos separar as integrais, já que são funções de ( integral1^4 r^4 , dr ) cdot ( integral0^2pi cos^2theta , dtheta ) e integral1^4 r^4 , dr = [ r^55 ]1^4 = 4^55 - 1^55 = 10245 - 15 = 10235 separáveis:
integral0^2pi cos^2theta , dtheta = pi
Primeiro, calculamos a integral em :
Depois, a integral em :
(Usamos a identidade trigonométrica e integrando resulta em )

Passo 8

Multiplicando os resultados das integrais:
10235 cdot pi = 1023pi5

Resposta

A integral de superfície vale .

Exercícios relacionados